2021牛客寒假算法基础集训营4
B 武辰延的字符串 || 字符串哈希+二分
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int P = 131;
const double pi = acos(-1.0);
char s[maxn], t[maxn];
ull p[maxn], hs[maxn], ht[maxn];
ll ans;
ull getHash(int l, int r, ull h[])
{
return h[r] - h[l-1] * p[r-l+1];
}
int main()
{
cin >> s + 1 >> t + 1;
int n = strlen(s + 1), m = strlen(t + 1);
p[0] = 1;
for(int i = 1; i < maxn; ++i) p[i] = p[i-1] * P;
for(int i = 1; i <= n; ++i) hs[i] = hs[i-1] * P + s[i];
for(int i = 1; i <= m; ++i) ht[i] = ht[i-1] * P + t[i];
for(int i = 1; i < m; ++i)
{
if(s[i] != t[i]) break;
int l = 1, r = min(n, m - i);
if(s[1] != t[l+i]) continue;
if(getHash(1, r, hs) == getHash(l + i, r + i, ht)) {
ans += r;
continue;
}
while(r - l > 1)
{
int mid = (r + l) / 2;
if(getHash(1, mid, hs) == getHash(i + 1, mid + i, ht)) l = mid;
else r = mid;
}
ans += l;
}
cout << ans << endl;
}
G 九峰与蛇形填数
比赛时T了，n <= 2000，m <= 3000
比赛时想到了倒着处理，但是循环的顺序没有想出来。每个位置的最终状态取决于最后一次修改它时的结果。我们可以先遍历每个位置，再对每个位置遍历m次操作，如果该位置位于该次操作范围内，就计算出结果并填入，然后跳出循环。这样就能保证每个位置最多只处理一次，复杂度上限是2000 * 2000 * 3000 = 1e10，但是跑不满，因为不可能每个位置都需要遍历m次操作。
还有一个处理就是，记录下来m次操作的过程中，找出修改过的最大范围，这样在之后遍历位置的时候，从来没有被修改过的数就无需遍历操作。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 2022;
const int maxm = 3033;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int P = 131;
const double pi = acos(-1.0);
int x[maxm], y[maxm], k[maxm];
int a[maxn][maxn];
int main()
{
int n, m, tmp;
int xmin = INF, ymin = INF, xmax = 0, ymax = 0;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= m; ++i)
{
scanf("%d %d %d", &x[i], &y[i], &k[i]);
xmin = min(xmin, x[i]);
ymin = min(ymin, y[i]);
xmax = max(xmax, x[i] + k[i] - 1);
ymax = max(ymax, y[i] + k[i] - 1);
}
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
if(i < xmin || i > xmax || j < ymin || j > ymax) continue;
for(int h = m; h >= 1; --h)
{
if(i >= x[h] && i <= x[h] + k[h] - 1 && j >= y[h] && j <= y[h] + k[h] - 1)
{
tmp = (i - x[h]) * k[h];
if((i - x[h]) % 2 == 0) a[i][j] = tmp + j - y[h] + 1;
else a[i][j] = tmp + k[h] + y[h] - j;
break;
}
}
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= n; ++j)
printf("%d ", a[i][j]);
printf("\n");
}
}
F 魏迟燕的自走棋 || 并查集
建图思想：并查集维护基环树
图的问题：从联通块开始入手分析
注意到 \(k\) 只能取0、1，一个装备只能分给一个或两个人，想到转化到图
首先我们考虑把 \(m\) 件装备看作 \(m\) 条连接两个点的边（如果 \(k=1\) 则当成自环）。于是我们的问题转化为选出一张边权和最大的生成子图。
这个图是由0个或若干个联通块构成。对于每一个联通块，它至少是一棵树，保证其联通。如果是一棵树的话，它表示每个人可以分到一个和他相连的装备，然后会多出一个点。此时在这个树的基础上多一条边，那么就变成了一棵基环树，基环树表示每个人都正好可以分到一个装备。此时如果再加一条边，那么就会出现装备没人使用，而我们要求最多这些装备能提供多大战斗力，所以这样的边就没用了。由此可以看出，每个联通块要么是树，要么是基环树。
一个结论是每次都选最大边一定不劣。这个结论来自kruskal算法的推广。
一旦我们选择一条最大边后，我们把两个点缩成一个点（选中非自环的情况），或者直接把这个点丢掉（选中自环的情况），就面临一个规模更小且完全一致的问题，可以继续执行选取最大边的策略。
也就是说我们只需要按照边权从大到小的顺序贪心地拿边，用一个并查集维护联通性和是否带环即可。
证明：
考虑一个不取最大边的方案。
如果把最大边加入后生成子图依旧满足条件，那么加入这条最大边会更优。
如果加入后发现这条边所在的连通块的边数超过了点数，说明原方案已经构成一棵基环树或两棵的基环树（被最大边连接），那么我们肯定可以断掉一条环边，把它变成一棵树或者一棵树+一棵基环树，再把最大边加入使其变成一棵基环树。
由于删掉的边的权值一定不大于最大边，因此新方案一定不劣于原方案。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 1e5 + 7;
const int maxm = 3033;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int P = 131;
const double pi = acos(-1.0);
struct node
{
int x, y, w;
}pro[maxn];
bool cmp(const node& a, const node& b)
{
return a.w > b.w;
}
int f[maxn];
bool mark[maxn];
ll ans;
void init(int n)
{
for(int i = 1; i <= n; ++i)
f[i] = i;
}
int find(int x)
{
if(f[x] == x) return x;
return f[x] = find(f[x]);
}
int main()
{
int n, m, k;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= m; ++i)
{
scanf("%d %d", &k, &pro[i].x);
if(k == 2) scanf("%d", &pro[i].y);
else pro[i].y = INF;
scanf("%d", &pro[i].w);
}
sort(pro + 1, pro + 1 + m, cmp);
init(n);
for(int i = 1; i <= m; ++i)
{
if(pro[i].y == INF)
{
int fx = find(pro[i].x);
if(!mark[fx])
{
ans += pro[i].w;
mark[fx] = 1;
}
}
else
{
int fx = find(pro[i].x), fy = find(pro[i].y);
if(fx == fy) // 一棵树自己和自己合并，变成基环树
{
if(mark[fx]) continue;
mark[fx] = 1;
ans +=pro[i].w;
continue;
}
if(mark[fx] && mark[fy]) continue;
ans += pro[i].w;
f[fx] = fy;
if(mark[fx] || mark[fy]) mark[fy] = 1;
}
}
printf("%lld\n", ans);
}
H 吴楚月的表达式 || dfs
一个非空表达式前缀可以表示成 \(a+b\) 的形式。
如果后面接了一个 \(+x\) ，则变成 \((a+b)+x\)；
如果后面接了一个 \(-x\) ，则变成 \((a+b)+(-x)\)；
如果后面接了一个 \(*x\) ，则变成 $a+b∗x $；
如果后面接了一个 \(/x\) ，则变成 $a+b/x $；
最后还是可以表示成 \(a+b\) 的形式。
因此只需要遍历整棵树维护每个节点对应的 \(a+b\) 即可，分别用q1[x]，q2[x]表示。
注意：除法取模需要逆元：限制 mod 必须为质数。a/b % mod == a * bmod-2 (模意义下)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 1e5 + 7;
const int maxm = 3033;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int P = 131;
const double pi = acos(-1.0);
ll a[maxn];
ll q1[maxn], q2[maxn];
vector<int>v[maxn];
char op[maxn];
ll qpow(ll a, ll b)
{
ll t = 1;
for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod)
if(b & 1) t = t * a % mod;
return t;
}
void dfs(int x)
{
for(auto y : v[x])
{
if(op[y] == '+'){
q1[y] = (q1[x] + q2[x]) % mod;
q2[y] = a[y];
}else if(op[y] == '-'){
q1[y] = (q1[x] + q2[x]) % mod;
q2[y] = -a[y] + mod;
}else if(op[y] == '*'){
q1[y] = q1[x];
q2[y] = q2[x] * a[y] % mod;
}else if(op[y] == '/'){
q1[y] = q1[x];
q2[y] = q2[x] * qpow(a[y], mod - 2) % mod;
}
dfs(y);
}
}
int main()
{
int n, x;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
for(int i = 2; i <= n; ++i)
{
scanf("%d", &x);
v[x].push_back(i);
}
scanf("%s", op + 2);
q1[1] = 0, q2[1] = a[1];
dfs(1);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
printf("%lld ", (q1[i] + q2[i]) % mod);
}
