【NOI2010T1】能量采集-容斥原理

测试地址：能量采集

做法：很容易能想到80分的做法：枚举所有的x,y，然后Σ2*gcd(x,y)-1就是答案，时间复杂度为O(n^2logn)。可是这个复杂度对于100000*100000的点来说肯定很拙计，所以我们考虑逆向思维：枚举1~min(n,m)的所有的整数i（之所以只枚举到min(n,m)，是因为在这种条件下两个数的最大公约数一定不会超过min(n,m)），求出以i为最大公约数的数对数f[d]，最后累计Σf[i]*(2*i-1)即可。问题是，如何计算f[i]呢？由容斥原理可得，f[i]=(n/i)*(m/i)-Σf[i*j] (2≤j≤min(n,m)/i)，即以i为最大公约数的数对数等于以i为约数的数对数（即式子中的(n/i)*(m/i)）减去以除i以外i的所有小于min(n,m)的倍数为最大公约数的数对数之和。因此，我们只要从min(n,m)开始求出所有的f[i]，再按照上面的方式累加答案即可。

以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long n,m,f[100010]={0};

int main()
{
  scanf("%lld%lld",&n,&m);
  if (n<m) swap(n,m);
  for(int i=m;i;i--)
  {
    f[i]=(n/i)*(m/i);
    for(int j=2;j<=m/i;j++)
	  f[i]-=f[i*j];
  }
  
  long long ans=0;
  for(int i=1;i<=m;i++)
    ans+=f[i]*(2*i-1);
  printf("%lld",ans);
  
  return 0;
}