【APIO2010T1】特别行动队-DP斜率优化

测试地址：特别行动队

做法：这题需要用到DP斜率优化。

设f[i]为拆分前i个士兵可获得的最大战斗力，sum[i]为前i个士兵的初始战斗力之和，很容易得到O(N^2)的方程：

f[i]=max{f[j]+a(sum[i]-sum[j])^2+b(sum[i]-sum[j])+c}(0≤j<i)

然而N可达1000000，我们需要考虑优化。

我们把max内部的式子展开得：f[j]+a*sum[i]^2-2*a*sum[i]*sum[j]+a*sum[j]^2+b*sum[i]-b*sum[j]+c，把a*sum[i]^2+b*sum[i]+c这些无关项从max中取出来，则剩下的式子G=-2*a*sum[i]*sum[j]+f[j]+a*sum[j]^2-b*sum[j]，令k=2*a*sum[i]，x=sum[j]，y=f[j]+a*sum[j]^2-b*sum[j]，则G=-kx+y，所以y=kx+G。要求G的最大值，就是求一条斜率为k的直线与前面状态点上凸壳的切点。由于sum单调递增，a是负数，所以x单调递增，k单调递减，所以可以用单调队列维护上凸壳，复杂度优化到O(N)，完美解决该问题。

以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,h,t,q[1000010];
long long a,b,c,sum[1000010],f[1000010];
struct point
{
  long long x,y;
  point operator - (point a) const
  {
    point s;
	s.x=x-a.x;
	s.y=y-a.y;
	return s;
  }
}p[1000010];

long long multi(point a,point b)
{
  return a.x*b.y-b.x*a.y;
}

void solve()
{
  h=1,t=1;
  q[1]=0;p[0].x=p[0].y=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    point now;
	now.x=1,now.y=2*a*sum[i];
    while(h<t&&multi(now,p[q[h+1]]-p[q[h]])>=0) h++;
	int j=q[h];
	f[i]=f[j]+a*(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+b*(sum[i]-sum[j])+c;
	p[i].x=sum[i],p[i].y=f[i]+a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i];
	while(h<t&&multi(p[i]-p[q[t-1]],p[q[t]]-p[q[t-1]])<=0) t--;
	q[++t]=i;
  }
}

int main()
{
  scanf("%d",&n);
  scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
  sum[0]=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    long long a;
	scanf("%lld",&a);
	sum[i]=sum[i-1]+a;
  }
  
  solve();
  printf("%lld",f[n]);
  
  return 0;
}