【BZOJ4870】组合数问题(六省联考2017)-矩阵优化DP
测试地址:组合数问题
做法:这题在THUSC2017试机时看到了,当时觉得非常有趣,于是就找到了原题来做,感觉实在是妙啊……
这一题应该使用矩阵优化DP来解决。
第一眼看上去这题感觉非常难做,推式子又感觉推不出,但其实我们观察一下这个式子,发现它的意义可以表达成:从个物品里取出的物品数量对取模结果为的方案数。将这个式子设为,可以得到状态转移方程:。我们可以把从上到下排列成一个列向量,发现很容易可以构造出一个转移矩阵使得,所以,就是一个第一行为1,其余行为0的列向量。那么我们就可以用矩阵快速幂来加速DP了,总复杂度为,不过据说还有更好的方法能达到,甚至,不过这不在这篇文章的讨论范围内了(其实是还没学23333)。要注意的特殊情况,在这种情况下,矩阵乘法时要将元素再加一次,因为这个WA了挺久。
以下是本人代码:
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,r,k,p;
struct matrix {ll a[50][50];} M[50],A;
matrix mult(matrix A,matrix B)
{
matrix S;
memset(S.a,0,sizeof(S.a));
for(int i=0;i<k;i++)
for(int j=0;j<k;j++)
for(int l=0;l<k;l++)
S.a[i][j]=(S.a[i][j]+A.a[i][l]*B.a[l][j])%p;
if (k==1) S.a[0][0]=(S.a[0][0]+A.a[0][0]*B.a[0][0])%p;
return S;
}
matrix power(ll x)
{
matrix S;
memset(S.a,0,sizeof(S.a));
for(int i=0;i<k;i++) S.a[i][i]=1;
int j=0;
while(x)
{
if (x&1) S=mult(S,M[j]);
x>>=1;j++;
}
return S;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&p,&k,&r);
memset(M[0].a,0,sizeof(M[0].a));
for(int i=0;i<k;i++)
{
M[0].a[i][(i-1+k)%k]=1;
M[0].a[i][i]=1;
}
for(int i=1;i<=45;i++) M[i]=mult(M[i-1],M[i-1]);
A=power(n*k);
printf("%lld",A.a[r][0]);
return 0;
}