【BZOJ3527】力（ZJOI2014）-FFT

测试地址：力
做法：本题需要用到FFT。
把题目所给式子中的qj$q_j$除掉，我们发现题目要求：
Ej=∑i<jqi(i−j)2−∑i>jqi(i−j)2$E_j=\sum _{i<j}\frac{q_i}{(i-j{)}^2}-\sum _{i>j}\frac{q_i}{(i-j{)}^2}$
然而本人自己做到这里就并不会推了（即使在知道要使用FFT的情况下）。在本人看了题解之后，发现要根据一种新的思路来思考——向量卷积。
根据向量卷积的定义，两个向量A,B$A,B$的卷积C$C$为：
Ci=∑j+k=iAjbk$C_i=\sum _{j+k=i}{A}_j{b}_k$
为了方便讨论，下述的下标可能是负数。
我们发现若令A,B$A,B$为：
Ai=qi,Bi=sign(i)×1i2$A_i=q_i,B_i=sign(i)\times \frac{1}{i^2}$
其中sign(i)$sign(i)$为i$i$的符号，即当i<0$i<0$时，sign(i)=−1$sign(i)=-1$，否则sign(i)=1$sign(i)=1$。
那么不难看出Ei=Ci$E_i=C_i$。
为了方便计算向量卷积，我们自然要把B$B$的负数下标转化成非负下标，将下标均加上n−1$n-1$即可。于是用FFT计算向量卷积，然后取Cn$C_n$~C2n−1$C_{2n-1}$这些项即可，这些就是我们要求的E$E$。
以下为本人代码（代码中A的下标从0开始，所以最后的向量中从第n-1项开始取）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,r[600010];
struct Complex
{
    double x,y;
}a[600010],b[600010];
const double pi=acos(-1.0);
Complex operator + (Complex a,Complex b) {Complex s={a.x+b.x,a.y+b.y};return s;}
Complex operator - (Complex a,Complex b) {Complex s={a.x-b.x,a.y-b.y};return s;}
Complex operator * (Complex a,Complex b) {Complex s={a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};return s;}

void FFT(Complex *a,int type)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
        if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
    {
        Complex W={cos(pi/mid),type*sin(pi/mid)};
        for(int l=0,r=mid<<1;l<n;l+=r)
        {
            Complex w={1.0,0.0};
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*W)
            {
                Complex x=a[l+k],y=w*a[l+mid+k];
                a[l+k]=x+y;
                a[l+mid+k]=x-y;
            }
        }
    }
    if (type==-1)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            a[i].x/=n;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);
    for(int i=0;i<(n<<1)-1;i++)
    {
        if (i<n-1) b[i].x=-1.0/((double)(i-n+1))/((double)(i-n+1));
        else if (i>n-1) b[i].x=1.0/((double)(i-n+1))/((double)(i-n+1));
             else b[i].x=0.0;
    }

    int save,bit=0,x=1;
    while(x<=(n<<1)) x<<=1,bit++;
    r[0]=0;
    for(int i=1;i<x;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
    save=n;n=x;

    FFT(a,1),FFT(b,1);
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    for(int i=save-1;i<(save<<1)-1;i++)
        printf("%lf\n",a[i].x);

    return 0;
}