【BZOJ2752】高速公路（HAOI2012）-线段树

测试地址：高速公路
做法：本题需要用到线段树。
归纳一下，本题要维护的信息是：
∑ri=l(i−l+1)(r−i)(r−l+1)(r−l)/2Vi$\sum _{i=l}^r\frac{(i-l+1)(r-i)}{(r-l+1)(r-l)/2}{V}_i$
把1(r−l+1)(r−l)/2$\frac{1}{(r-l+1)(r-l)/2}$提出来，将剩下的式子展开得：
∑ri=l[−i2Vi+(l+r−1)iVi+(r−lr)Vi]$\sum _{i=l}^r[-i^2{V}_i+(l+r-1)i{V}_i+(r-lr)V_i]$
这个式子也就等于：
−(∑ri=li2Vi)+(l+r−1)(∑ri=liVi)+(r−lr)(∑ri=lVi)$-(\sum _{i=l}^r{i}^2{V}_i)+(l+r-1)(\sum _{i=l}^{r}i{V}_i)+(r-lr)(\sum _{i=l}^r{V}_i)$
那么我们只需要维护∑ri=lVi$\sum _{i=l}^r{V}_i$，∑ri=liVi$\sum _{i=l}^{r}i{V}_i$和∑ri=li2Vi$\sum _{i=l}^r{i}^2{V}_i$即可。
问题来了，怎么在修改时维护形如∑ri=likVi$\sum _{i=l}^r{i}^k{V}_i$的信息？
其实很简单，将∑ri=lik(Vi+v)$\sum _{i=l}^r{i}^k(V_i+v)$展开得(∑ri=likVi)+v∑ri=lik$(\sum _{i=l}^r{i}^k{V}_i)+v\sum _{i=l}^r{i}^k$，那么我们只需要预处理出ik$i^k$的前缀和即可。
那么我们处理k=0,1,2$k=0,1,2$的情况，然后就可以维护了。最后要输出一个分数，分子是上面我们化出来的式子，而分母就是我们一开始提出来的那个(r−l+1)(r−l)/2$(r-l+1)(r-l)/2$，约分后输出即可。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
ll sum[400010][3]={0},p[400010]={0},lftsum[100010][3]={0};

ll gcd(ll a,ll b)
{
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}

void pushdown(int no,int l,int r)
{
    if (p[no]!=0)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            sum[no<<1][i]+=p[no]*(lftsum[mid][i]-lftsum[l-1][i]);
            sum[no<<1|1][i]+=p[no]*(lftsum[r][i]-lftsum[mid][i]);
        }
        p[no<<1]+=p[no],p[no<<1|1]+=p[no];
        p[no]=0;
    }
}

void pushup(int no)
{
    for(int i=0;i<3;i++)
        sum[no][i]=sum[no<<1][i]+sum[no<<1|1][i];
}

void modify(int no,int l,int r,int s,int t,ll c)
{
    if (l>=s&&r<=t)
    {
        for(int i=0;i<3;i++)
            sum[no][i]+=c*(lftsum[r][i]-lftsum[l-1][i]);
        p[no]+=c;
        return;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    pushdown(no,l,r);
    if (s<=mid) modify(no<<1,l,mid,s,t,c);
    if (t>mid) modify(no<<1|1,mid+1,r,s,t,c);
    pushup(no);
}

void query(int no,int l,int r,int s,int t,ll &sum0,ll &sum1,ll &sum2)
{
    if (l>=s&&r<=t)
    {
        sum0+=sum[no][0];
        sum1+=sum[no][1];
        sum2+=sum[no][2];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(no,l,r);
    if (s<=mid) query(no<<1,l,mid,s,t,sum0,sum1,sum2);
    if (t>mid) query(no<<1|1,mid+1,r,s,t,sum0,sum1,sum2);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        lftsum[i][0]=lftsum[i-1][0]+1;
        lftsum[i][1]=lftsum[i-1][1]+i;
        lftsum[i][2]=lftsum[i-1][2]+i*i;
    }

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        char op[3];
        ll l,r,v;
        scanf("%s",op);
        if (op[0]=='C')
        {
            scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&v);
            modify(1,1,n-1,l,r-1,v);
        }
        if (op[0]=='Q')
        {
            scanf("%lld%lld",&l,&r);
            ll sum0=0,sum1=0,sum2=0,ans1,ans2,g;
            query(1,1,n-1,l,r-1,sum0,sum1,sum2);
            ans1=-sum2+(l+r-1)*sum1+(-l*r+r)*sum0;
            ans2=(r-l+1)*(r-l)/2;
            g=gcd(ans1,ans2);
            ans1/=g,ans2/=g;
            printf("%lld/%lld\n",ans1,ans2);
        }
    }

    return 0;
}