【BZOJ4517】排列计数（SDOI2016）-组合数学：错排

测试地址：排列计数
做法：本题需要用到组合数学中的错排问题。
首先，如果两个序列中稳定的位置不同，那么两个序列肯定不同，因此我们枚举稳定的位置，有Cmn$C_n^m$种方案，然后对于剩下的元素，它们不能处在编号和它相同的位置上，学过组合数学的同学应该知道这就是经典的错排问题，令长为n$n$的排列中，对所有1≤i≤n$1\le i\le n$都有ai≠i$a_i\ne i$的排列数为D(n)$D(n)$个，我们有递推式：
D(n)=(n−1)(D(n−1)+D(n−2))$D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))$
边界条件为D(0)=1,D(1)=0$D(0)=1,D(1)=0$。那么本题的答案就是Cmn⋅D(n−m)$C_n^m\cdot D(n-m)$。
如果只是摆递推式就太没意思了，就来讲讲这个递推式是怎么来的吧。
我们枚举1$1$所在的位置，显然它不可能在1$1$号位置，那么其它任意位置它都可以选，共n−1$n-1$种选择。然后对于它选择的位置x$x$，我们讨论x$x$在不在位置1$1$上：
如果x$x$在位置1$1$上，那么其它n−2$n-2$个元素都不能在自己的位置上，方案数为D(n−2)$D(n-2)$。
如果x$x$不在位置1$1$上，那么它不能在位置1$1$，而其它n−2$n-2$个元素都不能在自己的位置上，方案数为D(n−1)$D(n-1)$。
这就是上述递推式的由来。于是我们就解决了这一题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
int T,n[500010],m[500010],maxn=0;
ll fac[1000010],inv[1000010],fi[1000010],D[1000010];

ll C(int n,int m)
{
    return fac[n]*fi[m]%mod*fi[n-m]%mod;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        scanf("%d%d",&n[i],&m[i]);
        maxn=max(maxn,n[i]);
    }

    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=fi[0]=fi[1]=1;
    D[0]=1,D[1]=0;
    for(ll i=2;i<=(ll)maxn;i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        fi[i]=fi[i-1]*inv[i]%mod;
        D[i]=(i-1)*(D[i-1]+D[i-2])%mod;
    }

    for(int i=1;i<=T;i++)
        printf("%lld\n",C(n[i],m[i])*D[n[i]-m[i]]%mod);

    return 0;
}