【BZOJ1485】有趣的数列（HNOI2009）-卡特兰数+线性筛

测试地址：有趣的数列
做法：本题需要用到卡特兰数+线性筛。
按照题目中的要求，我们可以把相邻的两项看做一个数对，如果第i$i$个数对表示第i$i$个元素进队、出队的时刻，我们可以转化题目中的限制条件：
1.整个数列是一个排列：即一个时刻只能进行一个进队或出队操作。
2.所有奇数项和偶数项单调递增：即元素的进队顺序和出队顺序确定，且先进先出。
3.对于同个数对中的两项，奇数项小于偶数项：即进队时刻早于出队时刻。
而求满足这些限制条件的数列数，实际上就是求n$n$个元素可能的进队、出队序列有多少种。我们知道答案就是卡特兰数，虽然卡特兰数描述n$n$个元素可能的进栈、出栈的序列种数，但反正是一一对应的，所以答案就是卡特兰数，公式为1n+1Cn2n$\frac{1}{n+1}{C}_{2n}^n$。
注意到模数可能不是质数，我们不能用求逆元的方法求出答案，注意到答案中涉及到的质因子都在2n$2n$以内，所以我们可以线性筛出所有的质因子，再算出每种质因子在答案中的幂数，最后再乘起来即可。时间复杂度为O(nlogn)$O(n\log n)$，实际上很难顶到这个上界。
具体实现的话，我们可以在线性筛时求出每个数最小的质因子（根据线性筛的性质，这个数第一次被筛的时候的那个质数就是它的最小质因子），这样就可以O(logn)$O(\log n)$地枚举一个数的所有质因子了。
我傻逼的地方：数组忘记开到2n$2n$的大小，RE了一次，下次要注意。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll p,ans=1;
int n,totprime=0,prime[2000010],low[2000010],tot[2000010];
bool notprime[2000010]={0};

void calc_prime()
{
    notprime[1]=1;
    for(int i=2;i<=(n<<1);i++)
    {
        if (!notprime[i]) prime[++totprime]=low[i]=i;
        for(int j=1;j<=totprime&&i*prime[j]<=(n<<1);j++)
        {
            notprime[i*prime[j]]=1;
            low[i*prime[j]]=prime[j];
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

void solve(int x,int type)
{
    while(x!=1)
    {
        tot[low[x]]+=type;
        x/=low[x];
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&p);

    calc_prime();
    for(int i=n+1;i<=(n<<1);i++) solve(i,1);
    for(int i=1;i<=n+1;i++) solve(i,-1);
    for(ll i=1;i<=(n<<1);i++)
    {
        while(tot[i])
        {
            ans=ans*i%p;
            tot[i]--;
        }
    }
    printf("%lld",ans);

    return 0; 
}