【BZOJ5290】道路（HNOI&AHOI2018）-树形DP

测试地址：道路
做法：本题需要用到树形DP。
去掉题目的各种包装，我们发现整棵树就是棵二叉树，城市就是非叶子节点，乡村是叶子节点。
看到这种树上最优化的问题，一般都会先想到树形DP。一个显然的思路是定义f(i)$f(i)$为以点i$i$为根的子树的最小不便利值，然后在每个点上进行决策，即决定翻修到达该点的公路还是铁路，更新答案。但是我们很快发现一个问题，一棵子树的最小不便利值和并不仅仅跟子树内的信息有关，还和从它到根的路径上翻修的情况有关。我们发现题目的数据范围中有一个条件：树的深度不超过40$40$，那么我们就可以设f(i,j,k)$f(i,j,k)$为在从i$i$到根的路径上，有j$j$条公路和k$k$条铁路没有翻修的情况下，以i$i$为根的子树的最小不便利值。这样我们就可以很轻易地得出状态转移方程了，最后的答案显然为f(1,0,0)$f(1,0,0)$，时间复杂度为O(n(depth)2)$O(n(depth{)}^2)$。
这题有点卡空间，要注意优化一下空间，例如叶子节点的f$f$可以不用存下，直接在用到时就可以O(1)$O(1)$算出。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,ch[20002][2],tot=0;
ll f[20002][42][42],a[20002],b[20002],c[20002];

ll F(int v,ll x,ll y)
{
    if (v<0) return c[-v]*(a[-v]+x)*(b[-v]+y);
    else return f[v][x][y];
}

void dp(int v,ll x,ll y)
{
    if (v>0)
    {
        dp(ch[v][0],x+1,y);
        dp(ch[v][1],x,y+1);
        for(ll i=0;i<=x;i++)
            for(ll j=0;j<=y;j++)
            {
                f[v][i][j]=F(ch[v][0],i+1,j)+F(ch[v][1],i,j);
                f[v][i][j]=min(f[v][i][j],F(ch[v][0],i,j)+F(ch[v][1],i,j+1));
            }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&ch[i][0],&ch[i][1]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld%lld",&a[i],&b[i],&c[i]);

    dp(1,0,0);
    printf("%lld",f[1][0][0]);

    return 0;
}