【BZOJ1367】Sequence（Baltic2004）-贪心+左偏树

测试地址：Sequence
做法：本题需要用到贪心+左偏树。
在讲做法之前先说几句无关的话……NOI考完之后内心一片空虚，于是在颓废了约十天之后终于鼓起勇气写代码了，实在是可喜可贺……
对于这一道题，题目要求的是递增序列，发现不太好求，于是根据要求的值的几何意义，如果我们把原数列做ai=ai−i$a_i=a_i-i$这样的变换，那么我们求出的不递减序列的最优解和原来的最优解相同。
序列不递减意味着可以相同。那么显然地，如果a$a$是递减序列，根据问题的几何意义，我们知道要求的序列z$z$中的每一项都是a$a$的中位数w$w$时是最优的；如果a$a$是不递减序列，那么要求的序列z$z$等于a$a$时是最优的。不难看出，我们可以把这种情况看成是，将序列的每一项分为一段，每一段的答案是该段内的中位数。
于是现在我们猜想：对于任意一个序列，最优答案是不是将序列分成若干段，其中每一段的答案都是该段内的中位数呢？
假设我们已经得到了序列a$a$和b$b$的最优解，它们的最优解都是序列的中位数。现在我们只要证明出将a,b$a,b$拼起来的序列可以被表示成几段中位数拼起来的形式，就可以归纳出上面的结论。令a,b$a,b$的中位数分别为u,v$u,v$，当u≤v$u\le v$时，最优解完全不用变化。当u>v$u>v$时，根据一些证明（可以看论文），就可以知道a,b$a,b$拼起来后，最优解中的每一项都是拼起来后的序列的中位数。
因此我们得到了一种基于合并的算法：假设我们已经求出了a$a$的前i$i$项的答案，即分好了段，那么计算第i+1$i+1$项，首先把这一项单独划分为一段，然后对比当前段与前面的段的中位数，如果大于等于之前的中位数就不用管，否则就要把当前段与前面的段合并成一段，然后继续比较。容易发现可以用栈实现这个比较的过程，那么我们怎么快速的支持查询中位数以及合并呢？其实，因为没有删除元素的操作，我们只需要保存每一段最小的⌈n2⌉$\lceil \frac{n}{2}\rceil$个元素，其中的最大值就是我们所求的中位数了。这显然可以用堆维护。但我们还需要支持快速合并，因此就用可并堆，其中最好写的方法是左偏树。在合并之后堆中的元素数量可能超过⌈n2⌉$\lceil \frac{n}{2}\rceil$（不可能小于，仔细想一想就知道为什么了），那么就把顶上的元素弹出知道堆中的元素数量合法即可。
左偏树一次合并和弹出的时间复杂度是O(logn)$O(\log n)$，而每个元素至多被弹出一次，合并也最多会执行n$n$次，所以总的时间复杂度是O(nlogn)$O(n\log n)$，可以通过此题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,st[1000010],top,l[1000010],r[1000010];
int siz[1000010],dis[1000010]={0},ch[1000010][2]={0};
ll a[1000010];

int merge(int x,int y)
{
    if (!x) return y;
    if (!y) return x;
    if (a[x]<a[y]) swap(x,y);
    ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
    if (dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]])
        swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;
    siz[x]=siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]]+1;
    return x;
}

int Delete(int x)
{
    return merge(ch[x][0],ch[x][1]);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        a[i]-=i;
    }

    top=0;
    dis[0]=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        siz[i]=1;dis[i]=0;
        top++;
        st[top]=l[top]=r[top]=i;
        while(top>1&&a[st[top-1]]>a[st[top]])
        {
            st[top-1]=merge(st[top-1],st[top]);
            r[top-1]=r[top];
            top--;
            while(siz[st[top]]>((r[top]-l[top]+1)>>1)+1)
                st[top]=Delete(st[top]);
        }
    }

    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=top;i++)
    {
        for(int j=l[i];j<=r[i];j++)
            ans+=abs(a[j]-a[st[i]]);
    }
    printf("%lld",ans);

    return 0;
}