【BZOJ1835】基站选址（ZJOI2010）-DP+线段树优化

测试地址：基站选址
题目大意：有n(≤20000)$n(\le 20000)$个村庄，第i$i$个村庄坐标为di$d_i$。现在要在村庄中建造不超过k(≤100)$k(\le 100)$个基站，在村庄i$i$建造基站的费用是ci$c_i$，并且如果没有在村庄i$i$周围si$s_i$距离的范围内建造基站的话，就要支付Wi$W_i$的补偿费。求最小花费。
做法：本题需要用到DP+线段树优化。
首先，很容易想到区间DP的形式。令f(i,j)$f(i,j)$为只考虑前i$i$个村庄，在第i$i$个村庄建造基站，在前i$i$个村庄共建造j$j$个基站的最小花费。可以得到状态转移方程：
f(i,j)=min{f(k,j−1)+cost(k,i)}+ci$f(i,j)=min\{f(k,j-1)+cost(k,i)\}+c_i$
其中cost(k,i)$cost(k,i)$指第k$k$到第i$i$个村庄中，如果除了第k$k$和第i$i$个选择外都不选，所需要花费的补偿费。如果我们多设一个空点n+1$n+1$，那么答案就是min{f(n+1,x)}(1≤x≤k+1)$min\{f(n+1,x)\}(1\le x\le k+1)$。
这个方程的瓶颈在于cost$cost$的计算，直接暴力算肯定会炸，于是我们需要思考一个新的方法。
注意到对于每个村庄，可以覆盖它的建造基站地点是一个区间[li,ri]$[l_i,r_i]$，不难看出这个区间会对cost(l,r)(l<li,r>ri)$cost(l,r)(l<l_i,r>r_i)$做出贡献。按照DP的过程，r$r$会不断递增，那么这就是一个自然的扫描线了，于是我们只需要在处理r$r$时，把所有区间[li,ri](ri=r−1)$[l_i,r_i](r_i=r-1)$的贡献累计到cost$cost$数组中即可，发现这是一个区间加的操作，于是用线段树维护，转移的时候在线段树中求出f(k,j−1)+cost(k,i)$f(k,j-1)+cost(k,i)$的最小值即可。
于是我们就以O(knlogn)$O(kn\log n)$的时间复杂度完成了这一题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=1000000000ll*1000000000ll;
int n,k,d[20010],s[20010];
int st[20010]={0},ed[20010]={0};
ll c[20010]={0},w[20010],f[20010][2]={0};
ll seg[80010],tag[80010];
int now=0,past=1;
struct interval
{
    int l,r;
    ll w;
}t[20010];

void pushdown(int no)
{
    if (tag[no]!=0)
    {
        seg[no<<1]+=tag[no],seg[no<<1|1]+=tag[no];
        tag[no<<1]+=tag[no],tag[no<<1|1]+=tag[no];
        tag[no]=0;
    }
}

void pushup(int no)
{
    seg[no]=min(seg[no<<1],seg[no<<1|1]);
}

void buildtree(int no,int l,int r)
{
    tag[no]=0;
    if (l==r)
    {
        seg[no]=f[l][past];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    buildtree(no<<1,l,mid);
    buildtree(no<<1|1,mid+1,r);
    pushup(no);
}

void modify(int no,int l,int r,int s,int t,ll x)
{
    if (l>=s&&r<=t)
    {
        seg[no]+=x;
        tag[no]+=x;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(no);
    if (s<=mid) modify(no<<1,l,mid,s,t,x);
    if (t>mid) modify(no<<1|1,mid+1,r,s,t,x);
    pushup(no);
}

ll query(int no,int l,int r,int s,int t)
{
    if (s>t) return 0;
    if (l>=s&&r<=t) return seg[no];
    int mid=(l+r)>>1;
    ll ans=inf;
    pushdown(no);
    if (s<=mid) ans=min(ans,query(no<<1,l,mid,s,t));
    if (t>mid) ans=min(ans,query(no<<1|1,mid+1,r,s,t));
    return ans;
}

bool cmp(interval a,interval b)
{
    return a.r<b.r;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    d[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&s[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&w[i]);

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        t[i].w=w[i];
        int l,r;
        l=1,r=i;
        while(l<r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if (d[mid]>=d[i]-s[i]) r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        t[i].l=l;
        l=i,r=n;
        while(l<r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if (d[mid+1]<=d[i]+s[i]) l=mid+1;
            else r=mid;
        }
        t[i].r=l;
    }
    sort(t+1,t+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if (!st[t[i].r])
        {
            st[t[i].r]=i;
            if (i>1) ed[t[i-1].r]=i-1;
        }
    ed[t[n].r]=n;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i][past]=inf;
    ll ans=f[n][past];
    for(int i=1;i<=k+1;i++)
    {
        buildtree(1,0,n);
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        {
            if (st[j-1])
            {
                for(int p=st[j-1];p<=ed[j-1];p++)
                    modify(1,0,n,0,t[p].l-1,t[p].w);
            }
            f[j][now]=query(1,0,n,0,j-1)+c[j];
        }
        ans=min(ans,f[n+1][now]);
        swap(now,past);
    }
    printf("%lld",ans);

    return 0; 
}