【BZOJ1124】Mafia（POI2008）-环套树DP

测试地址：Mafia
做法： 本题需要用到环套树DP。
按照题目构图，很显然是我们很熟悉的环套树森林。接下来我们进行分析，最后活下来一些什么人是合法的呢？观察发现，一个人的目标如果是自己那就必死，而没有被作为目标的人一定存活，还有一个特别重要的性质：一个人$i$和他的目标$a_i$到最后不可能都存活。在满足这些条件的情况下，我们一定可以构造出一个顺序使得最后存活特定的人。于是问题就非常好分析了。
首先来看怎么样死亡最多，也就是存活最少。由于上面我们知道，没有被作为目标的人一定存活，那么其他的人是一定都会死吗？不一定，因为我们再次发现，一个连通块内至少会有一个人存活。因此我们对所有没被作为目标的人打个标记，在进行连通块的搜索的时候，如果当前连通块内不存在这样的人（事实上，这种情况只有可能是一个环），那么就会多出一个人存活。当然，如果这个环内只有一个人，那么因为这个人目标是自己，所以他必死，特判一下即可。这样我们就能$O(n)$计算出这个答案了。
然后我们来看怎么样死亡最少，也就是存活最多。注意到上面“一个人和他的目标不能都存活”这个性质，在图中就表现为，一条边的两个端点不可能都存活，于是我们要找的就是在这种状态下，最多能选出多少个人存活，这显然就是一个环套树上的最大独立集问题，只不过还要规定所有叶子节点都必须被选，用边界条件稍微修改的环套树DP就能$O(n)$解决。当然，还要特判环套树中的环中只有一个人的情况，这样的话这个人是必死的。把每个连通块的答案加起来，就是最多的存活人数了，最少的死亡人数也随之得出了。
于是经过上面的讨论，我们解决了这个问题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1000010],in[1000010],q[1000010],h,t,ans1,ans2;
int f[1000010][2]={0},looplen,loop[1000010];
int loopf[2][2];
bool totflag,flag[1000010]={0},vis[1000010]={0};

void find_loop(int i)
{
	looplen=1;
	totflag=flag[i];
	loop[1]=i;
	vis[i]=1;
	f[i][1]++;
	while(a[loop[looplen]]!=loop[1])
	{
		++looplen;
		loop[looplen]=a[loop[looplen-1]];
		totflag|=flag[loop[looplen]];
		vis[loop[looplen]]=1;
		f[loop[looplen]][1]++;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		in[a[i]]++;
	}
	
	h=1,t=0;
	ans2=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (!in[i])
		{
			q[++t]=i;
			ans2--;
		}
	while(h<=t)
	{
		int v=q[h++];
		in[a[v]]--;
		f[v][1]++;
		f[a[v]][0]+=max(f[v][0],f[v][1]);
		f[a[v]][1]+=f[v][0];
		if (!in[a[v]]) q[++t]=a[v];
		flag[a[v]]=1;
	}
	
	ans1=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (in[i]&&!vis[i])
		{
			find_loop(i);
			if (!totflag&&looplen>1) ans2--;
			if (looplen==1) {ans1-=f[i][0];continue;}
			if (looplen==2)
			{
				int x=i,y=a[i],mx=0;
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][0]);
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][1]);
				mx=max(mx,f[x][1]+f[y][0]);
				ans1-=mx;
				continue;
			}
			if (looplen==3)
			{
				int x=i,y=a[i],z=a[a[i]],mx=0;
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][0]+f[z][0]);
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][0]+f[z][1]);
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][1]+f[z][0]);
				mx=max(mx,f[x][1]+f[y][0]+f[z][0]);
				ans1-=mx;
				continue;
			}
			int mx=0,now=1,past=0;
			loopf[past][0]=loopf[past][1]=0;
			for(int j=2;j<=looplen;j++)
			{
				loopf[now][0]=max(loopf[past][0],loopf[past][1])+f[loop[j]][0];
				loopf[now][1]=loopf[past][0]+f[loop[j]][1];
				swap(now,past);
			}
			mx=max(mx,max(loopf[past][0],loopf[past][1])+f[loop[1]][0]);
			loopf[past][0]=loopf[past][1]=0;
			for(int j=3;j<=looplen-1;j++)
			{
				loopf[now][0]=max(loopf[past][0],loopf[past][1])+f[loop[j]][0];
				loopf[now][1]=loopf[past][0]+f[loop[j]][1];
				swap(now,past);
			}
			mx=max(mx,max(loopf[past][0],loopf[past][1])+f[loop[1]][1]+f[loop[2]][0]+f[loop[looplen]][0]);
			ans1-=mx;
		}
	
	printf("%d %d",ans1,ans2);
	
	return 0;
}