【BZOJ1414】对称的正方形（ZJOI2009）-Manacher+RMQ

测试地址：对称的正方形
做法： 本题需要用到Manacher+RMQ。
首先，我们想到枚举正方形的对称轴，求对称轴交点为某个点时的最大正方形大小。为了方便，我们模仿Manacher算法，把矩阵用$0$扩充成一个$(2n+1)\times (2m+1)$的矩阵，这样我们就只用考虑中心点是整数坐标的情况了。
我们思考怎么判断一个中心点向外延伸$k$的长度的正方形是否合法。首先正方形要左右对称，那么中间的对称轴上的$2k+1$个点，它们在各自行中以它们为中心的最长回文子串长度，应该大于等于$2k+1$，显然这个长度可以用Manacher算法算出。上下对称也是同理。可是暴力判断是$O(n^3)$的，会爆炸，我们需要找到另一种思路。
我们分开考虑一个中心点的上、下、左、右四个边界，问题就转化为，求右端点给定时，使得区间内数都大于等于某个数的最左的左端点是哪一个。注意到右端点右移时，左端点也是单调右移的，这时我们配合RMQ就可以解决这个问题了。求出某中心点的四个边界后，求最小值就是这个中心点的边界了，这之后讨论答案就很简单了。
于是总的时间复杂度为$O(n^2\log n)$，可以通过此题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[2010][2010]={0},r[2010][2010],c[2010][2010];
int s[2010],len[2010],mn[2010][15],p[2010];
int lft[2010][2010],rht[2010][2010],up[2010][2010],down[2010][2010];

void Manacher(int n)
{
	int center=1,rht=1;
	len[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (i>rht||i+len[2*center-i]-1>=rht)
		{
			len[i]=(i>rht)?0:(rht-i+1);
			while(i-len[i]>=1&&i+len[i]<=n&&s[i-len[i]]==s[i+len[i]])
				len[i]++;
			center=i;
			rht=i+len[i]-1;
		}
		else len[i]=len[2*center-i];
	}
}

void init_RMQ(int n)
{
	p[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if ((1<<(p[i-1]+1))<i)
			p[i]=p[i-1]+1;
		else p[i]=p[i-1];
		mn[i][0]=s[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=12;i++)
		for(int j=1;j<=n-(1<<i)+1;j++)
			mn[j][i]=min(mn[j][i-1],mn[j+(1<<(i-1))][i-1]);
}

int query(int l,int r)
{
	int x=r-l+1;
	return min(mn[l][p[x]],mn[r-(1<<p[x])+1][p[x]]);
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			scanf("%d",&a[2*i-1][2*j-1]);
	n=2*n-1,m=2*m-1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
			s[j]=a[i][j];
		Manacher(m);
		for(int j=1;j<=m;j++)
			r[i][j]=len[j];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
			s[j]=a[j][i];
		Manacher(n);
		for(int j=1;j<=n;j++)
			c[j][i]=len[j];
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
			s[j]=c[i][j];
		init_RMQ(m);
		int x=1;
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			while(query(x,j)<j-x+1) x++;
			lft[i][j]=j-x+1;
		}
		x=m;
		for(int j=m;j>=1;j--)
		{
			while(query(j,x)<x-j+1) x--;
			rht[i][j]=x-j+1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
			s[j]=r[j][i];
		init_RMQ(n);
		int x=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			while(query(x,j)<j-x+1) x++;
			up[j][i]=j-x+1;
		}
		x=n;
		for(int j=n;j>=1;j--)
		{
			while(query(j,x)<x-j+1) x--;
			down[j][i]=x-j+1;
		}
	}
	
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if (i%2==j%2)
			{
				int x=min(min(up[i][j],down[i][j]),min(lft[i][j],rht[i][j]));
				ans+=(x+(i%2))>>1;
			}
	printf("%d",ans);
	
	return 0;
}