冲刺国赛7.5

数叶子

分别考虑每个点的贡献，发现只和与他相邻的边有关系

不妨枚举是哪条边产生贡献，假设是第 \(x\) 条边

那么在他左边就有 \(x-1\) 条边再加上选择区间的左端点 一共要选出 \(x\) 个点

右边同理要选出 \(deg-x+1\) 条边

枚举这条边在哪里就是 \(\sum\limits_{i=1}^{m}\binom{i}{x}\binom{m-i+1}{deg-x+1}\)

这个东西就是 \(\binom{m+2}{deg+2}\) 可以瞎按一些组合意义去解释

对于每条边都是一样的所以要乘一个 \(deg\) 每条边都不一样所以在乘一个 \(deg!\)

对于剩下的边随便放 \(\binom{m-deg}{n-1-deg}(n-1-deg)!\)

再对于每个点分别求一遍就是答案

多边形

咕咕咕

树论

化一下式子就可以变成 \(\sum\limits_{d=1}^n\frac{d}{\varphi(d)}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\varphi(i)\varphi(j)dis^k(i,j)[gcd(i,j)==d]\)

设后边的为 \(f(d)\) ，应用莫比乌斯反演再设一个 \(F(x)=\sum\limits_{x|d}f(d)\) \(f(x)=\sum\limits_{x|d}F(d)\mu(\frac{d}{x})\)

那么与 \(F(x)\) 有关的点只有 \(x\) 的倍数 将这些点提出来建个虚树

可以将 \(dis\) 拆开变成 \(dep_i+dep_j-2\times dep_{lca}\)

于是考虑在 \(lca\) 处统计贡献

再维护一下子树的 \(\varphi\times dep^k\) 然后用二项式定理合并两次就能求出对 \(dis^k\) 的贡献