CF1801 题解

A

首先考虑 $4\times 4$ 的矩阵构造。

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 4& 5\\ 2& 3& 6& 7\\ 8& 9& 12& 13\\ 10& 11& 14& 15\end{array}\right]$$

我们发现每个矩阵的异或和都是 $0$，那么不妨考虑一个更加简洁的构造：所有的 $4\times 4$ 矩阵的异或和都是 $0$。
我们考虑两行两行进行构造，先考虑 $2\times n$ 的矩阵的构造：

$$\left[\begin{array}{ccccccc}0& 1& 4& 5& \cdots & 4k& 4k+1\\ 2& 3& 6& 7& \cdots & 4k+2& 4k+3\end{array}\right]$$

可以通过枚举证明，任意合法矩阵的异或和都是 $0$。
接下来扩展到 $n\times m$，那么接下来的第 $2k-1,2k$ 行可以变成上一组的每个数加上一个 $\mathrm{base}$。这里 $\mathrm{base}$ 可以取 $512$。

B

考虑讲 $a$ 为第一关键字升序排序，枚举买给第一个人的最大值。
考虑另一个人的最小值是由谁贡献的，分为两部分，他右边的 $b$ 的最大值首先一定会贡献，可以和 $|maxb-a|$ 先取 $min$，如果他已经比 $a$ 大了，那么左边无论证明贡献肯定不优于最后的答案，那么干脆全选，不给另一个人贡献。
而对于 $maxb$ 比 $a$ 小的话，那么可以增大 $maxb$，使得差距变小，所以可以取 $\underset{j<i}{min}|b_j-a_i|$，这个可以直接用 set 维护。
注意一些边界值。

C

首先在原序列的非前缀最大值肯定不会贡献的最后的答案，所以可以变成若干个上升的序列 $[l_i,r_i]$。
考虑以右端点为第一关键字升序排序进行 $\mathrm{dp}$。考虑如何转移：枚举贡献给的内容，一定是一个后缀，转移方程就是

$$f_{i,a_{i,le{n}_i}}=\underset{j<a_k,k\le le{n}_i}{max}{f}_{i-1,j}+(le{n}_i-k+1)$$

最后的答案就是 $max{f}_{n,i}$。

D

考虑表演场次的贡献，一定是缺钱的时候在经过的点最优的一处进行表演。
记 $f_{u,i,j}$ 表示到达 $u$，经历的收益最大点为 $a_i$，剩余的钱为 $k$ 的最优答案。
但是这样子转移复杂度会炸掉，所以考虑优化掉最后一维。
所以可以记录一个 pair，表示到 $u$ 的最小的表演次数和剩余最多的钱。
转移直接用最短路，考虑两状态 $s1$ 和 $s2$，$s1$ 要怎么比 $s2$ 优？当 $s1$ 和 $s2$ 表演场次相同的时候，$s1$ 剩余的钱多更优，否则表演场次少优。证明考虑如果 $s2$ 表演场次和 $s1$ 一样多，那么剩余的钱也会更多。

E

考虑用并查集维护答案，答案就是所有集合的方案乘起来。
合并的次数是 $O(n)$ 级别的，那么我们要找到路径上第一个不同集合的两个点。
这样的维护方案可以二分然后用哈希值维护，可以直接用树状数组两只 $\log$ 维护。

F

记 $f_{i,j}$ 表示考前 $i$ 个数，后面的数乘起来至少是 $j$ 的最优答案。

$$f_{i,\lceil \frac{j}{k}\rceil }\leftarrow f_{i-1,j}+\lfloor \frac{a_i}{k}\rfloor \times \frac{1}{a_i}$$

有个关于上取整的结论：

$$\lceil \frac{a}{b}\rceil =\lfloor \frac{a-1}{b}\rfloor +1$$

扩展一下：

$$\lceil \frac{\lceil \frac{a}{b}\rceil }{c}\rceil =\lfloor \frac{a-1}{bc}\rfloor +1$$

注意到 $j$ 的取值种类是根号级别的，那么预处理一下直接转移就好了。

G

首先考虑右端点在 $[l,r]$ 之前的后缀，前缀为合法字符串的方案数，记录为 $f_l\sim f_r$。
记 $g_i$ 表示 $S[1:i]$ 最长合法前缀的长度。
在 $[l,r]$ 中最大的 $p$ 使得 $p-g_p+1\le l$。
那么注意到 $S[l:i],i\in (q,r]$ 的答案方案数就是 $i$ 对应后缀的 $f_i$，那么 $f,g$ 可以用正串的 ACAM 预处理。
那么前面部分的答案就是 $g_p$ 对应的字符串的长度为 $p-l+1$ 的子串答案，这个可以用反串 ACAM 预处理。