数学小记

发现自己数学好菜好菜 =_=

反演

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

$$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1,& n=1\\ (-1{)}^r,& n=p_1{p}_2\dots p_r\\ 0,& else\end{array}$$

莫比乌斯反演的一般形式

$$f(n)=\sum _{d|n}g(d)\iff g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f(\frac{n}{d})$$

$$f(n)=\sum _{n|d}g(d)\iff g(n)=\sum _{n|d}\mu (d)f(\frac{d}{n})$$

本质上是在狄拉克雷卷积下，$\mu$ 的逆元为 $ϵ$
常用的关于 $\mu$ 的结论

$$\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$$

$$\sum _{d|n}\mu (d)\frac{n}{d}=\phi (n)\mathrm{即}\mu \ast ID=\phi$$

例题 [MtOI2019]幽灵乐团

Min-Max 反演

在一些“大小关系”难以比较的题目中，Min-Max 反演扮演重要角色
一般形式：

$$max(S{)}_k=\sum _{\varnothing \ne T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{|T|-1}{k-1})min(T)$$

特别地，在 $k=1$ 时

$$max(S)=\sum _{\varnothing \ne T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}min(T)$$

此式在期望下也成立(甚至更常用)

$$\mathbb{E}max(S)=\sum _{\varnothing \ne T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}\mathbb{E}min(T)$$

当然，交换 $max$ 与 $min$ 也是成立的
集训队作业 小Z的礼物

二项式反演

基本形式

$$f(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})g(i)\iff g(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(i)$$

进一步地，有

$$f(n)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})g(i)\iff g(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(i)$$

更进一步地，有

$$f(n)=\sum _{i=n}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})g(i)\iff g(n)=\sum _{i=n}^m(-1{)}^{i-n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})f(i)$$

这个式子更为常用，考虑这个式子的组合意义
$f(n)$ 表示钦定(至少) $n$ 个 $n$ 元素，$g(n)$ 表示恰好 $n$ 个元素，那么 $g(i)$ 对 $f(n)$ 的贡献有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})g(i)$，即 $f(n)=\sum _{i\ge n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})g(i)$，而上式的 $m$ 是选择个数的上界

子集反演

设现在的研究对象是集合 $A$，设 $A=S$ 时的答案为 $f(S)$，$S\subseteq A$ 时的答案为 $g(S)$，那么有

$$g(S)=\sum _{T\subseteq S}f(T)\Rightarrow f(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|S|-|T|}g(T)$$

类似地，当 $A\subseteq S$ 时答案为 $g(S)$

$$g(S)=\sum _{S\subseteq T}f(T)\Rightarrow f(S)=\sum _{S\subseteq T}(-1{)}^{|T|-|S|}g(T)$$

组合意义就是恰好为这个集合与最多/最少是这个集合之间的转化