网络流 学习笔记

众所周知，网络流是一类常用于求解最优化问题的算法，有着灵活的性质与较为优秀的复杂度
网络流学习的关键是对问题的抽象与建模，下面介绍一些常见的应用。

二分图上的应用

二分图最大独立集 $=$ 二分图最小点覆盖 $=n-$ 二分图最大独立集。

考虑最小点覆盖的构造：从左部点所有失配点开始，走“匹配边-非匹配边”交替的路径，标记所有经过的路径，最后取左部未被标记的点和右部被标记的点。
反应到网络流上就是从源点出发，沿所有有残流的边搜(所有边初始流量都为1)，标记经过的点。
最大独立集就取最小点覆盖的补集。

下面给出大致证明：
首先证明构造与最大匹配一一对应。首先对应左部点一定匹配，否则会被当为出发点标记；然后对应右部点一定匹配，因为右部点一定由一条匹配边到达；最后一条匹配边不可能两端点都在点覆盖内，因为右部点可以通过此边标记左部点。
然后证明覆盖了所有边，即不存在左右点同时不在点覆盖内。分类讨论：若此边为匹配边，左部点只能从右部点搜到，那么右部点一定被标记；若为非匹配边，左部点就能从右部点转移。

二分图的构造在各类匹配问题十分常见，如网格图黑白染色，还有填充模板类的问题。

最小割

平面图最大流等于最小割，可以处理一些“选不选”的问题，下面是一些经典的构造。

P4313 文理分科
考虑如何表示选择文理，一个点分别向源汇，建权值为文科/理科贡献的边。
考虑对所有点再建两个个点表示周围相同能产生的贡献。将它四周的点与它向新点建边，流量inf，再将两点分别连接源汇点，建权值为周围全为文科/理科产生的贡献的边。
这样如果A点连源，B点连汇，并且A,B有连边，那么A,B必须割“相同选择”的边，或者两个都连源，那么要割掉另一条额外贡献。
答案就是所有贡献和减去最小割。

拓展：BZOJ3511 (权限)
对于选择相同产生贡献直接套用经典模型，考虑如何处理不同选择产生的代价 $c$。
考虑每次选择不同，会割去两条边，考虑给两条边分别加上 $c$，再在总和中加入一个 $c$，这样选择相同的时候，只割一个 $c$ 刚好抵消。

---

P3227 [HNOI2013]切糕
考虑对立方体所有坐标建点，然后建 $(x,y,z-1)\to (x,y,z)$，源点连 $(x,y,0)$，$(x,y,R)$ 连汇点，容易知道所有 $(x,y)$ 只会割一条边。
考虑如何限制 $D$，$\mathrm{\forall }k\ge D,(x,y,k)\to (x,y,k-D)$，流inf。
这样的话可以如果割了一对距离超过 $D$ 的边，那么源汇依旧联通，不合法
这一类问题可以拓展成对于数列 $\{A\}$，$A_i\in [1,m]$，取 $j$ 花费 $a_{i,j}$，有若干约束 $A_{u_i}-A_{v_i}\le w_i$，给变量赋值并最小化总代价。
更多应用可以参考 djq 在 WC2023 的课件。

---

[SHOI2010]最小生成树
首先其他边减 $1$ 等价于此边加 $1$。
考虑Kruskal的过程，即对于所有小于等于当前边(权$w$)的边加入时，保证不连通。
那么在原图保留权值小于当前边的边，边权改为 $w-\mathrm{原}\mathrm{边}\mathrm{权}$，跑个最小割。

上下界网络流

无源汇上下界可行流
将原图边权赋为 $R-L$，跑最大流，但是可能有点不满足出流 $=$ 入流。
考虑建立虚拟源点汇点，这样就可以补齐多余的流量。
给予点 $i$ 点度 $i$，那么对于边 $(u,v,l,r)$，将 $d_u$ 减去 $l$，$d_v$ 加上 $l$，最后 $s\to u(d\ge 0)$,$u(d\le 0)\to t$。
若 $s$ 的出边均满流，那么存在可行流。

有源汇上下界可行流
对源汇建 $T\to S,val=inf$，转换成无源汇。

有源汇上下界最大流
在可行流基础上再跑一边最大流。

有源汇上下界最小流
在可行流基础上再跑一边最大流，然后去 $S\to T$ 的残流。

P4843 清理雪道
校内题

其他

给定 $[1,m]$ 中的 $n$ 个区间 $[l_i,r_i]$，每个区间选择一次的代价为 $w_i$，最多可以选 $c_i$次，要求使得任意点 $j$ 被覆盖次数在 $[a_j,b_j]$。
考虑 $s\to 1$，$i\to i+1$，$m+1\to t$，对于 $l_i\to r_i+1,val=c_i$，流一次表示选择一次区间。给予源点出发极大流 $inf$，对 $i\to i+1$ 权赋为 $[inf-b_i,inf-a_i]$，跑最小(大)费用上下界最大流。

P6967 [NEERC2016]Delight for a Cat
P3358 最长k可重区间集问题

---

CF818G Four Melodies
一个朴素的想法就是对所有符合条件的 $i,j$ 建边，但是这是 $n^2$ 级别的，过不了。
考虑对所有点拆出 $id1,id2$ 表示 $mod7$ 同余和 差的绝对值为$1$，以及入点 $in$ 出点 $out$。
下面所有 $j$ 都是 $i$ 后第一个满足条件的点。
$a_i\equiv a_j(\mathrm{mod}7),ou{t}_i\to id{1}_j,id{1}_i\to id{1}_j$，表示 $i$ 之后可以选 $j$ 或者可以跳过 $i$ 选 $j$。
$a_i-a_j=-1,ou{t}_i\to id{2}_j(inf,0)$，表示选 $i$ 之后选 $j$。
$a_i-a_j=1,ou{t}_i\to id{2}_j(inf,0)$，表示选 $i$ 之后选 $j$。
$a_i=a_j,id{2}_i\to id{2}_j(inf,0)$，表示跳过 $i$ 选相同值的 $j$。
为限制每个点只选一次 $i{n}_i\to i{n}_j(1,1)$。
最后 $s\to i{n}_i(inf,0)$,$ou{t}_i\to t(inf,0)$,$id{1}_i\to i{n}_i(inf,0)$,$id{2}_i\to i{n}_i(inf,0)$。
最大费用最大流。