ABC274 题解

A

题目：给定 $A,B$ 输出 $\frac{B}{A}$ 保留 $3$ 位小数。

简答题，和A+B problem 一样，除一除，保留一下小数。

B

题目：给定一个 $n$ 行 $m$ 列由'.'和'#'的方阵，求每列有多少个 '#'($n,m\le 1000$ )。

暴力遍历每一行进行统计。

C

题目：给定 $N$ 个数的数列 $A$，开始时有 $1$ 只变形虫，第 $i$ 时刻时，第 $i$ 只变形虫会变化为 $2i$ 与 $2i+1$ ,定义这两只变形虫的亲代为 $A_i$，求每只变形虫距离 $1$ 号虫间隔几代，对 $2N+1$ 只虫输出答案 ($N\le 2\times {10}^5$)。

按题意模拟即可，注意可能亲代编号比当前的大，用搜索实现。

D

题目：给定数列 $A$ 以及 $x,y$ 要求判断是否有一个点集满足以下条件($N\le 1000,|x|,|y|\le {10}^4,A_i\le 10$ )。

• $P_0=(0,0),P_1=(A_1,0),P_N=(x,y)$。
• $P_i$ 与 $P_{i-1}$ 的距离为 $A_i$。
• $\mathrm{\angle }{P}_{i-1}{P}_i{P}_{i+1}$ 为 ${90}^{\circ }$。

题目等同与将点 $B(0,0)$ 每次选择一维加减 $A_i$，最后能否成为 $(x,y)$。
发现当$i$为奇数时第一维改变，反之第二维。
数据范围较小，对两位分别进行 $O(NV)$ 的dp，定义 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个点 能否和为 $j$。转移是平凡的。

E

题目：给定平面直角坐标系上 $n$ 个小镇和 $m$ 个加速站，从 $(0,0)$ 出发，每经过一个加速站就可以使速度乘 $2$，重复经过加速站无用，求最少时间遍历所有小镇并回到 $(0,0)$。($n\le 12,m\le 5$)

发现 $n,m$ 规模很小考虑状压dp，记录以及经过的位置与当前从哪个位置出发，转移是平凡的。

F

河中有 $N$ 条鱼，每条鱼都有出发位置 $x_i$，速度 $v_i$ 以及重量 $w_i$，现在让你在任意时刻选择一段长度为 $A$ 的区间，使得 $\sum w$ 最大。($N\le 2000,x_i,v_i,w_i\le {10}^9$)

考虑钦定一条鱼在这个区间的右端点上，正确性显然。现在就有这个区间在第 $0$ 时刻位置。根据其他鱼相对的初始位置与速度计算出每一条鱼进出区间的时刻 (记为 $s_i,t_i$)。
将鱼以 $s$ 为第一关键字排序，用扫描线把所有鱼可能的在与不在区间的状态遍历并取 max
复杂度为 $O(n^2\log n)$

G

给定一个 $N$ 行 $M$ 列的矩形，每个位置上有'.'或'#'。前者表示当前位置为空，后者表示当前位置有障碍。现在可以在空位置放置监控，监控可以监控上下左右四个方向，一个监控只有一个方向，可以看到该方向上没有被障碍遮挡的位置，现在求最少用多少个监控可以覆盖所有的空位置。($N,M\le 300$)

下面用 0 指代'.'，用 1 指代'#'。
发现最优答案一定可以被以下方式构造：在一个 0 的极长横向连续段的左端放置一个向右监控，在一个 0 的极长纵向连续段顶端放置一个向下的监控。正确性显然。
记 $f_i,g_i$ 表示点 $i$ 所在极长横向\纵向 0 连续段的 左端\顶端，发现 $f_i,g_i$ 必有一个点放置监控。
容易想到二分图最小点覆盖，使用网络流解决，复杂度 $O(n^3)$

Ex

题目：定义函数 $S(A,B)=\{A_1\oplus B_1,A_2\oplus B_2,A_3\oplus B_3\dots A_n\oplus B_n\}$，现在给定一个序列 $A$，有 $q$ 个询问，每个询问给定 $a,b,c,d,e,f$，求 $S(A(a,b),A(c,d))$ 字典序是否严格小于 $A(e,f)$。($q\le 5\times {10}^4,n\le 5\times {10}^5$)

首先考虑运算是 $+$ 要怎么做，发现可以预处理出序列的哈希值，然后二分 $S(A(a,b),A(c,d))$ 与 A(d,e) 的 LCP。
那么我们现在想要一个哈希函数 $H(X)$，满足 $H(A,B)=H(A)\oplus H(B)$，并且可以类似地满足"异或乘法"。
考虑使用异或与 Nim 积，即 $H(A_i)=H(A_{i-1})\otimes base\oplus A_i$，其中 $\otimes$ 表示 Nim 积。
关于 Nim 积可以阅读 这篇 和 这篇 博客。
剩下的内容就是二分了，复杂度为 $O(q{\log }^{3}n)$。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int k=1,x=0;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') k=-1; ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return k*x;
}
inline int cmin(reg int x,reg int y){return x<y?x:y;}
const int N=5e5+10;
int n,m,A[N];
#define ull unsigned long long
ull f[300][300],hsh[N],pw[N],base;
mt19937_64 rnd(333);
inline ull Nimp(reg ull x,reg ull y,reg int p){
	if (x<=1||y<=1) return x*y; if (p<8&&f[x][y]) return f[x][y];
	reg ull a=x>>p,b=((1ull<<p)-1)&x,c=y>>p,d=((1ul<<p)-1)&y;
	reg ull bd=Nimp(b,d,p>>1),ac=Nimp(Nimp(a,c,p>>1),1ull<<p>>1,p>>1),res;
	res=((Nimp(a^b,c^d,p>>1)^bd)<<p)^ac^bd;
	if (p<8) return f[x][y]=res; return res;
}
inline ull query(reg int l,reg int r){return hsh[r]^Nimp(hsh[l-1],pw[r-l+1],64);}
signed main(){
	for (reg int i=0;i<256;i++) for (reg int j=0;j<256;j++) f[i][j]=Nimp(i,j,8);
	n=read();m=read();
	for (reg int i=1;i<=n;i++) A[i]=read();
	pw[0]=1,hsh[0]=0,base=rnd();
	for (reg int i=1;i<=n;i++) hsh[i]=Nimp(hsh[i-1],base,64)^A[i],pw[i]=Nimp(pw[i-1],base,64);
	while (m--){reg int a=read(),b=read(),c=read(),d=read(),e=read(),f=read();
	    reg int l=0,r=cmin(b-a+1,f-e+1)+1,ans=0;
		while (l+1<r){ reg int mid=l+r>>1; query(a,a+mid-1)^query(c,c+mid-1)^query(e,e+mid-1)?r=mid:l=mid,ans=mid;} ans=l;
		if (e+ans-1==f) puts("No"); else{
			if (a+ans-1==b||(A[a+ans]^A[c+ans])<A[e+ans]) puts("Yes"); else puts("No");
		}
	}
	return 0; 
}