ABC274 题解

A

题目：给定 \(A,B\) 输出 \({B}\over{A}\) 保留 \(3\) 位小数。

简答题，和A+B problem 一样，除一除，保留一下小数。

B

题目：给定一个 \(n\) 行 \(m\) 列由'.'和'#'的方阵，求每列有多少个 '#'(\(n,m \le 1000\) )。

暴力遍历每一行进行统计。

C

题目：给定 \(N\) 个数的数列 \(A\)，开始时有 \(1\) 只变形虫，第 \(i\) 时刻时，第 \(i\) 只变形虫会变化为 \(2i\) 与 \(2i+1\) ,定义这两只变形虫的亲代为 \(A_i\)，求每只变形虫距离 \(1\) 号虫间隔几代，对 \(2N+1\) 只虫输出答案 (\(N \le 2 \times 10^5\))。

按题意模拟即可，注意可能亲代编号比当前的大，用搜索实现。

D

题目：给定数列 \(A\) 以及 \(x,y\) 要求判断是否有一个点集满足以下条件(\(N \le 1000,|x|,|y| \le 10^4,A_i \le 10\) )。

• \(P_0=(0,0),P_1=(A_1,0),P_N=(x,y)\)。
• \(P_i\) 与 \(P_{i-1}\) 的距离为 \(A_i\)。
• \(\angle P_{i-1} P_i P_{i+1}\) 为 \(90^\circ\)。

题目等同与将点 \(B(0,0)\) 每次选择一维加减 \(A_i\)，最后能否成为 \((x,y)\)。
发现当\(i\)为奇数时第一维改变，反之第二维。
数据范围较小，对两位分别进行 \(O(NV)\) 的dp，定义 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个点 能否和为 \(j\)。转移是平凡的。

E

题目：给定平面直角坐标系上 \(n\) 个小镇和 \(m\) 个加速站，从 \((0,0)\) 出发，每经过一个加速站就可以使速度乘 \(2\)，重复经过加速站无用，求最少时间遍历所有小镇并回到 \((0,0)\)。(\(n \le 12,m \le 5\))

发现 \(n,m\) 规模很小考虑状压dp，记录以及经过的位置与当前从哪个位置出发，转移是平凡的。

F

河中有 \(N\) 条鱼，每条鱼都有出发位置 \(x_i\)，速度 \(v_i\) 以及重量 \(w_i\)，现在让你在任意时刻选择一段长度为 \(A\) 的区间，使得 \(\sum w\) 最大。(\(N \le 2000,x_i,v_i,w_i \le 10^9\))

考虑钦定一条鱼在这个区间的右端点上，正确性显然。现在就有这个区间在第 \(0\) 时刻位置。根据其他鱼相对的初始位置与速度计算出每一条鱼进出区间的时刻 (记为 \(s_i,t_i\))。
将鱼以 \(s\) 为第一关键字排序，用扫描线把所有鱼可能的在与不在区间的状态遍历并取 max
复杂度为 \(O(n^2 \log n)\)

G

给定一个 \(N\) 行 \(M\) 列的矩形，每个位置上有'.'或'#'。前者表示当前位置为空，后者表示当前位置有障碍。现在可以在空位置放置监控，监控可以监控上下左右四个方向，一个监控只有一个方向，可以看到该方向上没有被障碍遮挡的位置，现在求最少用多少个监控可以覆盖所有的空位置。(\(N,M \le 300\))

下面用 0 指代'.'，用 1 指代'#'。
发现最优答案一定可以被以下方式构造：在一个 0 的极长横向连续段的左端放置一个向右监控，在一个 0 的极长纵向连续段顶端放置一个向下的监控。正确性显然。
记 \(f_i,g_i\) 表示点 \(i\) 所在极长横向\纵向 0 连续段的 左端\顶端，发现 \(f_i,g_i\) 必有一个点放置监控。
容易想到二分图最小点覆盖，使用网络流解决，复杂度 \(O(n^3)\)

Ex

题目：定义函数 \(S(A,B)=\{A_1 \oplus B_1,A_2 \oplus B_2,A_3 \oplus B_3 … A_n \oplus B_n\}\)，现在给定一个序列 \(A\)，有 \(q\) 个询问，每个询问给定 \(a,b,c,d,e,f\)，求 \(S(A(a,b),A(c,d))\) 字典序是否严格小于 \(A(e,f)\)。(\(q \le 5 \times 10^4,n \le 5 \times 10^5\))

首先考虑运算是 \(+\) 要怎么做，发现可以预处理出序列的哈希值，然后二分 \(S(A(a,b),A(c,d))\) 与 A(d,e) 的 LCP。
那么我们现在想要一个哈希函数 \(H(X)\)，满足 \(H(A,B)=H(A)\oplus H(B)\)，并且可以类似地满足"异或乘法"。
考虑使用异或与 Nim 积，即 \(H(A_i)=H(A_{i-1}) \otimes base \oplus A_i\)，其中 \(\otimes\) 表示 Nim 积。
关于 Nim 积可以阅读 这篇 和 这篇 博客。
剩下的内容就是二分了，复杂度为 \(O(q \log^3 n)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int k=1,x=0;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') k=-1; ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return k*x;
}
inline int cmin(reg int x,reg int y){return x<y?x:y;}
const int N=5e5+10;
int n,m,A[N];
#define ull unsigned long long
ull f[300][300],hsh[N],pw[N],base;
mt19937_64 rnd(333);
inline ull Nimp(reg ull x,reg ull y,reg int p){
	if (x<=1||y<=1) return x*y; if (p<8&&f[x][y]) return f[x][y];
	reg ull a=x>>p,b=((1ull<<p)-1)&x,c=y>>p,d=((1ul<<p)-1)&y;
	reg ull bd=Nimp(b,d,p>>1),ac=Nimp(Nimp(a,c,p>>1),1ull<<p>>1,p>>1),res;
	res=((Nimp(a^b,c^d,p>>1)^bd)<<p)^ac^bd;
	if (p<8) return f[x][y]=res; return res;
}
inline ull query(reg int l,reg int r){return hsh[r]^Nimp(hsh[l-1],pw[r-l+1],64);}
signed main(){
	for (reg int i=0;i<256;i++) for (reg int j=0;j<256;j++) f[i][j]=Nimp(i,j,8);
	n=read();m=read();
	for (reg int i=1;i<=n;i++) A[i]=read();
	pw[0]=1,hsh[0]=0,base=rnd();
	for (reg int i=1;i<=n;i++) hsh[i]=Nimp(hsh[i-1],base,64)^A[i],pw[i]=Nimp(pw[i-1],base,64);
	while (m--){reg int a=read(),b=read(),c=read(),d=read(),e=read(),f=read();
	    reg int l=0,r=cmin(b-a+1,f-e+1)+1,ans=0;
		while (l+1<r){ reg int mid=l+r>>1; query(a,a+mid-1)^query(c,c+mid-1)^query(e,e+mid-1)?r=mid:l=mid,ans=mid;} ans=l;
		if (e+ans-1==f) puts("No"); else{
			if (a+ans-1==b||(A[a+ans]^A[c+ans])<A[e+ans]) puts("Yes"); else puts("No");
		}
	}
	return 0; 
}