向量 学习笔记

向量的基本运算

定义 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2),\theta$ 为两个向量的夹角

向量加法：

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
满足于三角形法则(首尾顺次相连)和平行四边形法则(共起点)

向量减法：

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$

向量点乘：

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}>0$ 则 $0^{\circ }\le \theta <{90}^{\circ }$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ 则 $\theta ={90}^{\circ }$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}<0$ 则 ${90}^{\circ }\le \theta <{180}^{\circ }$

向量叉乘：

$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$
计算满足于右手法则
其几何意义为两个向量围成的平行四边形面积
但向量外积本质上在三维空间内定义
$\overrightarrow{a}=(x1,y1,zz1),\overrightarrow{b}=(x2,y2,z2)$
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(y1z2-y2z1,z1x2-x1z2,x1y2-x2y1)$

向量旋转 (逆时针)

令被旋转的向量为 $(x,y)$
$(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$
$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ sin\theta & \cos \theta \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$
可以使用画图与三角形恒等变形进行证明

求多边形的面积

将多边形上的点逆时针标记为 $p_1,p_2,p_3\cdots p_n$ ,选择一个辅助点 $O$
记向量 $\overrightarrow{v_i}$ 表示 $\overrightarrow{O{p}_i}$
则多边形面积为
$S=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^N\overrightarrow{v_i}\times \overrightarrow{v_{i\mathrm{mod}n+1}}|$
使用向量叉乘的几何意义实现，用不同的方向表示正负

坐标的距离

欧式距离

在 $n$ 维空间下的点 $\overrightarrow{A}=(x_{11},x_{12},x_{13}\cdots x_{1n})$ 和 $\overrightarrow{B}=(x_{21},x_{22},x_{23}\cdots x_{2n})$ 的欧式距离：
$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_{1i}-x_{2i}{)}^2}$

曼哈顿距离

$d1(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$
满足以下性质

1. $d1(A,B)\ge 0$
2. $d1(A,A)=0$
3. $d1(A,B)=d(B,A)$
4. $d1(A,C)+d(C,B)\ge d(A,B)$

inline double dis(int x1,int y1,int x2,int y2){
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}

切比雪夫距离

$d2(A,B)=max\{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}$

曼哈顿距离与切比雪夫距离的转换

将点 $(x,y)$ 转化为 $(x+y,x-y)$ ，原坐标系的曼哈顿距离为新坐标系中切比雪夫距离
将点 $(x,y)$ 转化为 $(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$ ，原坐标系的曼哈顿距离为新坐标系中切比雪夫距离
例题：
[NOIP2017 提高组] 奶酪
[USACO04OPEN]Cave Cows 3

判断几何图形的关系

判断点是否在线段上

设点为 $\overrightarrow{Q}$，线段为 $\overrightarrow{P1P2}$
判断条件：$(\overrightarrow{Q}-\overrightarrow{P1})\times (\overrightarrow{P2}-\overrightarrow{P1})=0$ 且 $\overrightarrow{Q}$ 在以 $\overrightarrow{P1},\overrightarrow{P2}$ 为对角顶点的矩形内

inline int cross(reg int x1,reg int y1,reg int x2,reg int y2){return x1*y2-y1*x2;}
inline bool check(reg point p1,reg point p2,reg point q){
	if (!(min(p1.x,p2.x)<=q.x&&q.x<=max(p1.x,p2.x)&&min(p1.y,p2.y)<=q.y&&q.y<=max(p1.y,p2.y))) return 0; 
	return cross(p2.x-p1.x,p2.y-p1.y,q.x-p1.x,q.y-p1.y)*
	       cross(p2.x-p1.x,p2.y-p1.y,q.x-p2.x,q.y-p2.y)==0;
}

判断两线段是否相交

设两个线段分别为 $\overrightarrow{P1P2}$ 与 $\overrightarrow{Q1Q2}$

1. 快速排斥实验：若以 $\overrightarrow{P1P2}$ 为对角线的矩形与以 $\overrightarrow{Q1Q2}$ 为对角线的矩形不相交，那么两个线段显然不向交
2. 跨立实验：如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方
   若 $\overrightarrow{P1P2}$ 跨立 $\overrightarrow{Q1Q2}$ ，则矢量$(\overrightarrow{P1}-\overrightarrow{Q1})$ 和 $(\overrightarrow{P2}-\overrightarrow{Q1})$ 位于矢量 $(\overrightarrow{Q2}-\overrightarrow{Q1})$ 的两侧
   在代码实现上为 $(\overrightarrow{P1}-\overrightarrow{Q1})\times (\overrightarrow{Q2}-\overrightarrow{Q1})\ast (\overrightarrow{P2}-\overrightarrow{Q1})\times (\overrightarrow{Q2}-\overrightarrow{Q1})\le 0$
   当且仅当 $\overrightarrow{Q1}$ 在 $\overrightarrow{P1P2}$ 上时取等
   同时要对 $\overrightarrow{Q2}$ 进行判断
   判断线段和直线是否相交 只要进行跨立实验

判断点是否在多边形中

设这个点为 $P$ ，从 $P$ 引一条射线 $L$，计算与多边形的交点
若交点个数为奇数，在多边形内，否则在多边形外
几种情况要特判一下