如何计算整数平方根

 

定义

  所谓整数平方根即。

算法

  算法1.猜试法

利用等差级数公式:       

               
  这样的话, 从1开始一直算到数列的前项和第一次大于x的时候,即是所求。下面给出source code(C): 

unsigned linear_search(unsigned long x)
{
    unsigned long sum_n = 1;
    unsigned n = 1;

    if(x <= 1)
    {
        return x;
    }

    while(sum_n <= x)
    {
        n++;
        sum_n += (n<<1) - 1;
    }

    return (n-1);

}

 

  这种方法无异于穷举法，其唯一的优点是：每次的迭代用到了前面迭代的结果，所以会有一些效率的增益。对于该算法的改进就是不穷举，改用我们熟悉的二分查找法来做。

 

unsigned bi_search(unsigned long x)
{
    unsigned long sum_n = 0;
    unsigned n = (x >> 1);
    unsigned top = x;
    unsigned bottom = 0;

    if (x <= 1)
    {
        return x;
    }

    for (;;)
    {
        sum_n = n * n;
        if (sum_n < x)
        {
          bottom = n;
          n += ((top - bottom) >> 1);
          if (n == bottom)
              return n;
        }
        else 
        if (sum_n > x)
        {
          top = n;
          n -= ((top - bottom) >>1);
          if (n == top)
              return n-1;
        }
        else
        {
            return n;
        }
    }

}

 

算法2 Newton 法

把这个问题转换为方程求根问题，即:，求x。

 而方程求根的问题可以用Newton 法来解决。现在的问题有一点不同，即所求的根必须是整数。通过证明，我们可以发现，Newton迭代公式是适用于整数情况的，于是有：

                 
至于是怎么证明的，可以参考hacker’s delight。

另外，初值的选择也是很重要的一环，这里我们选择大于等于的最小的2的幂次数。

OK，下面给出程序：

 

unsigned newton_method(unsigned long x)
{
    unsigned long x1 = x - 1;
    unsigned s = 1;
    unsigned g0,g1;

    /* 初值设定 */
    if (x1 > 65535) {s += 8; x1 >>= 16;}
    if (x1 > 255)   {s += 4; x1 >>= 8;}
    if (x1 > 15)    {s += 2; x1 >>= 4;}
    if (x1 > 3)     {s += 1; x1 >>= 2;}

    /*迭代*/
    g0 = 1 << s;
    g1 = (g0 + (x >> s)) >> 1;
    while(g1 < g0)
    {
       g0 = g1;
       g1 = (g0 + x/g0) >> 1;
    }
    return g0;
}

 

 

算法3 逐比特确认法

   逐比特确认法认为一个32位整数求根，结果应该是一个16位整数。求这个16位整数，其实质是确认每位的比特是0还是1.我们把这个根分为两个相加的部分，一部分是已确认的值，另一部分是未确认的值。从高位到低位，每次迭代确认一位。初始时，已确认部分为0。则问题的初始形式为：

                      
  算法发明者为：James Ulery  论文:Computing Integer Square Roots

下面给出源代码：

 

unsigned bitwise_verification(unsigned long x)
{

   unsigned long temp = 0;
   unsigned v_bit = 15;
   unsigned n = 0;
   unsigned b = 0x8000;

   if (x <= 1)
       return x;

   do{
       temp = ((n << 1) + b) << (v_bit--);
       if (x >= temp)
       {
           n += b;
           x -= temp;
       }
   }while (b >>= 1);
   
   return n; 
}

 

性能比较

  在0~1000000范围内对四种算法进行了遍历性的测试，得到测试结果：
      

             
  显见四种算法的遍历性能以逐比特确认法为最好，逐比特确认法从本质上来说是一种二分查找法，而且其查找范围为整个16位整数域；而我们实现的二分查找法的查找范围到已知变量为止，从范围上来说比逐比特确认法来得小，但是最后平均性能却不及逐比特确认法。其原因在于：逐比特确认法把问题分解为相同的子问题的集合，采用递推的方法，很好地利用了前面步骤的结果，不用什么都从头算起，从而避免了重复劳动，用加减法和移位操作代替了乘除法操作，最终获得了性能上的增益。

  需要注意的是，虽然平均性能有如此的关系。并不代表每个数或每组数都有这样的关系。实际上，我们每组产生1000个随机数，并对每组的算法性能进行了测试，各个算法都有获得优胜的时候。至于具体是什么场合用什么算法，需要分析和经验的支撑。目前，我所能归纳出的概要指导准则为：

（1）在大多数情况下，牛顿迭代都能获得不错的性能，

（2）逐比特确认法更适合运算数比较大的场合。

测试环境说明：操作系统: windows xp sp3

CPU   : Pentium4 3.0GHZ

内    存: 2.40GHz 0.99GB

编译环境： VC++6.0企业版

参考文献

1.     hacker’s delight 之 初等函数

2.     完全平方数的判定及整数平方根的快速求解  http://hi.baidu.com/atyuwen/blog/item/206369fdae6d221e09244da9.html

3.     James Ulery  Computing Integer Square Roots

期间曾因为算法细节问题，向James Ulery求教并得到其热情回复，向其表示感谢。

4.     计算正整数平方根的整数部分(J2ME)

   http://www.360doc.com/content/060601/10/233_126245.html

本文结束。