离散时间信号与系统-时域：2
7.信号是向量
信号是数学对象，我们将要展示分析信号几何性质的工具-线性代数。通过线性空间的解读，我们可以对信号的强度，信号之间的相似程度进行分析。使用矩阵可以更好地理解信号处理过程。
向量空间的定义，就是一个线性空间的定义。
在实数空间R和复数空间C都有效，常常表述为N维的空间。我们将使用二维空间进行举例。
学习中，仅仅使用x就代表二维空间中的向量，并且每个向量的分量从0开始计数，而不是1.标量alpha是实数。向量空间的性质1：缩放（尺度变换）就是alpha x。
向量空间的性质2：两个向量相加，仍然处于这个向量空间。
信号的相加，表示两个信号的混合（mix）后的新的信号。
复数向量空间仅在实数向量空间进行简单的修改：信号中的每个分量是一个复数（是复数就存在两种表示方法：复平面坐标与极坐标）。
直角坐标系表示：分成两个向量；极坐标系，注意每个信号的大小是绝对值（其实是该信号在的长度）。
8.信号的线性组合
许多信号处理的基础是多个信号的混合相加，线性组合结果仍然是该向量空间中的向量。
假设每个信号（向量）都是一种乐器产生的时域信号。混音就是简单将他们进行线性组合（混音哦，好帅）
线性组合=矩阵相乘，每个xm都是一个向量（列），代表一种乐器随着时间出现的声音的嘛，而线性组合就是矩阵和向量的乘积。
更加血腥的细节！！！ xm的信号长度为N，而一共有M种信号，将其细节进行展示如下。所以信号得到两种表述，矩阵表述(n行m列的矩阵)[X]n,m= xm[n]（一共有m种信号，每个信号长度为n）。分别把X视为标量和把x视为向量。
所以信号的线性组合就是矩阵的乘法
总结：
线性代数在数字信号处理中太重要了！！！
信号存在于向量空间的向量！！！
通过线性组合，我们可以将多个信号组合成一个新的信号。
线性组合其实就是矩阵和向量的乘法。
9.信号的范数（Norm）
出现一个问题： 如何衡量信号（向量）的强度？
信号的强度通过范数进行描述，其中2范数（也叫欧式距离，欧式距离，欧式距离）定义为一个信号的能量（power）。（注意2范数的写法和它的缩写方法）；例子中是复数空间哦。
P范数表示信号的绝对值的p次方的累加，最后再进行p次开方。1范数为每个信号分量的绝对值的和。注意：都是对信号分量绝对值的操作，即表示该信号向量的每个维度上的操作。
有意思的来了！！！无穷范数表示的是一个信号中，幅值最大的分量。
2范式描述的是信号的能量，而无穷范式描述的是信号的峰值（该信号分量的1范式的值，不是欧式距离。注意注意注意，复数空间中这个值是该信号的长度）。
应用举例:扬声器
在磁铁周围缠绕一层线圈（coil of wire），在振动一侧，将线圈与纸质的椎体链接（paper cone），当线圈中流过电流，电磁效应使得线圈沿着轴向左右移动，拉动纸质椎体进行振动，最后发声。
如果能量（2范式）的值太大，线圈就会由于过热而融化。
如果峰值（无穷范式）的值太大，线圈就会左右移动的太厉害，导致纸质椎体脱胶（回忆一下，真的好常见啊。）
例子2：自动驾驶汽车
2范数表示汽车的轨迹相对正确路线的拟合程度。 （能量越小，拟合程度越高，表示汽车沿着真个轨道走的越好）。但是，仅仅损失函数的值达到最好还是不够，如果无穷范数过大，表示某一次的偏离及其严重，那么就会产生严重事故。 所以，这个时候一般需要在轨迹两侧建立警戒线，而该车的轨迹的无穷范数的值不允许超过警戒线范围。
向量的标准化（归一化）：将向量的长度化为1.
总结：
范数测量了信号的强度，我们介绍了1范数，2范数和无穷范数。
10.内积
上面介绍了信号是向量，单个信号的定量分析（强度等）由范数规定。下面，我们介绍一对信号的定量分析，（作用巨大而且非常常见的方法）。
信号的转置：行与列进行交换。
如果将转置与共轭操作放在一起（这个操作很有用），就叫做复数转置（厄米特转置），使用H进行表示先进行转置，然后将每个分量进行取共轭操作，用*号表示。实数的共轭转置就是普通的转置咯。
复数乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。所以，复数与其共轭相乘等于一个实数。
内积的定义中，后面的向量要进行共轭转置，复数空间的时候，虚数部分符号取反；实数空间的时候，与普通的转置相同）。实数向量的内积是个值（标量），而复数向量的内积仍然是个复数（标量，例如x和y一个实数向量，一个虚数向量）。但是这种定义可以保证复数向量自己本身的内积是个正数。
实数信号中，角度等于内积与两个向量的2范数的相除。复数信号中稍微复杂，角度等于内积的实数部分与两个向量的2范数的相除。注意 注意 注意 复数内积夹角的求法。
内积就表示两个向量的相似程度，虽然计算时使用x[n]与y[n]*的乘积，但是它表示的是x[n]与y[n]的内积，<x[n],y[n]>
应用举例：
每个信号本身的内积就是该信号的2范数。（实数与复数皆一样）
正交向量：如果两个向量正交，则他们的内积为0
谐波正弦是正交的。（谐波正弦表示改离散时域正弦信号为周期信号的情况，即角频率omega为:(2*pi*k)/N,N是周期）。 注意离散时域正弦的定义，注意离散时域正弦的定义，注意离散时域正弦的定义。
注意：exp^j*2*pi*k = 1 因为，exp^j*2*pi*k = cos（2*pi*k）+j*sin（2*pi*k）
谐波正弦信号的2范数为sqrt（N），其中N为信号长度。它的归一化如下：
总结：
内积的定义。内积夹角度定义。谐波正弦信号是正交的。
11.矩阵相乘和内积
信号的线性组合就是矩阵与向量的乘积，而线性组合也可以表示为两个向量的内积。
多个不同信号，在时间n进行混合，得到的值y[n]为：X矩阵的第n行与权值的内积。复数向量的内积计算需要共轭转置，所以用T表达是不准确的。
总结：
矩阵与向量相乘也是向量内积。
12.柯西不等式
内积和角度这两个有用的工具可以帮助我们对信号进行比较。Amazing的是，柯西不等式可以对这个比较进行定量分析。
通过夹角得到了柯西不等式，得到结论：内积体现了两个信号的相似程度。
柯西不等式很重要，柯西不等式很重要，柯西不等式很重要。两个信号共线，则他们的相似程度最高。一个信号就是另一个信号的缩放（哇哇哇，太神奇）。（想想他们的信号长度N相同，经过alpha的缩放。）
应用举例：大前提：所有信号在传输过程中，都有噪音的影响。
如何识别通讯信号中的0和1？ 因为实际波形噪音严重，但是通过与理想信号（0和1）进行内积，就能得到该信号属于0或者1的可能性的大小。
雷达发出一个冲击信号，同时不断接受各种信号（纯噪音，各种信号与噪音的负荷信号），同样进行不断的内积，如果发现了较大的内积值，就是我们想要的结果了。根据延时信息还可以得到该信号（飞机）的速度信息。
面部识别：最简单的是图像的所有点都进行了注册，所以信号的长度相等，对应分量位置表示相同的信息。所以内积可以表示两个图像的相似程度。（实际识别复杂的多）
总结：
内积可以衡量两个信号的相似程度。
柯西不等式对这种衡量进行了校准，结果在0，1之间。信号接近边界分别表示了不同和相似。
13.长度无限的向量（信号）
以上，我们研究的对象都是有限长度的信号，包括实数和复数两种信号，并研究了他们的范式，内积和线性组合。下面，我们看看无限长的信号。信号的分量标示n从负无穷到正无穷之间。
先看看超级有用的2范数。 从有限到无限，范数的定义没有变化。但是，在无限长度信号中，不一定存在2范数~~~~~~
例如，下面信号的2范数表示该信号： 能量无限能量无限能量无限 哈哈我疯了。
推广到p_norm，也不是所有的无限信号都有P范数。
无穷范数呢？
内积的定义与有限信号相比，也没有变化噢。
无限信号的内积与线性组合关系十分紧密，并且与有线信号的线性组合是一样的。 更重要的是：我们对很多无限信号的线性组合非常关注。
总结：
无限信号的范数，内积，线性组合与有限信号完全一样。
BUT， 无限信号存在1范数，2范数，无穷范数不存在的情况。另外，线性组合中可能涉及到无穷种信号的混合（而不单单是信号长度为无穷）
