整数划分

整数划分有两种

1.不限定划分的个数

如:

5 = 1+1+1+1+1.

5 = 1+1+1+2.

5 = 1+2+2.

5 = 1+1+3.

5 = 2+3.

5 = 1+4.

5 = 5.

 

可以利用组合数学中的母函数:G(x) = (1+x^1+x^2+x^3+...+x^n)(1+x^2+x^4+x^6+...+x^(2*p))(1+x^3+x^6+...+x^(3*q))+...

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace 整数划分
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int N;
            int[] c1 = new int[11]; // 存储结果
            int[] c2 = new int[11]; // 辅助数组

            string[] input = Console.In.ReadToEnd().Split(new char[] {' ','\t','\n','\r'}, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries);
            N = int.Parse(input[0]);

            // 初始数组，因为任何数总有一种拆分，故c1[i]=1
            for (int i = 0; i <= N; i++)
            {
                c1[i] = 1;
                c2[i] = 0;
            }

            for (int i = 2; i <= N; i++)
            {
                // 每次循环加入若干个i时的次数
                for (int j = 0; j <= N; j++) 
                    for (int k = 0; k + j <= N; k += i)
                        c2[k + j] += c1[j];
                // 再次初始数组
                for (int j = 0; j <= N; j++)
                {
                    c1[j] = c2[j];
                    c2[j] = 0;
                }
            }
            Console.WriteLine("{0}的整数划分为{1}",N,c1[N]);

        }
    }
}

 不过，这个题目也可以用多重背包。

　　     c2[0] = 1;
            for (int i = 1; i <= N; i++)
                for (int j = i; j <= N; j++)
                {
                    c2[j] += c2[j-i];
                }
            Console.WriteLine("{0}的整数划分为{1}", N, c2[N]);

2.另外一种整数划分是限制划分的数目

这种情况用限制多重背包可解

 
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

int f[111][111];
int main(int argc, char **argv) {
    int T;
    int m, n;
    int i, j, k;
    cin >> T;

    while (T--) {
        cin >> m >> n;
        //        memset(f, -1, sizeof(f));
        for (i = 0; i <= n; ++i)
            for (j = 0; j <= m; ++j)
                f[i][j] = -1;
        f[0][0] = 1;
        for (j = 1; j <= m; ++j) {
            for (i = 1; i <= n; ++i) {
                for (k = j; k <= m; k++) {
                    if (f[i - 1][k - j] != -1) {
                        if (f[i][k] == -1)
                            f[i][k] = f[i - 1][k - j];
                        else
                            f[i][k] += f[i - 1][k - j];
                    }
                }
            }
        }
        //        for (i = 1; i <= n; ++i) {
        //            for (j = 1; j <= m; ++j)
        //                cout << f[i][j] << ' ';
        //            cout << endl;
        //        }
        cout << f[n][m] << endl;
    }
    return 0;
}