本节内容主要是使用分布函数来重述一些结论的证明 （抽象废话）
定义 设$f\in\mathcal{M} (E)$，则其分布函数定义为测度$$d_f (x):=\mathrm{m} E(\vert f\vert >x)$$其中$x\geq 0$.
关于分布函数有一个显然的重要不等式，概率论中称为切比雪夫不等式：
定理 若$f\in\mathcal{M} (E)$，则对任意$x>0$有不等式$$d_f (x)\leq\frac{1}{x}\int_E \vert f(t)\vert\ \mathrm{d} t$$成立。
证明 由定义就有$$\int_E \vert f(t)\vert\ \mathrm{d} t\geq\int_{E(\vert f\vert >x)}\vert f(t)\vert\ \mathrm{d} t\geq xd_f (x)$$
下面利用分布函数来证明一些简单事实：
命题1 若$f\in\mathcal{M} (E)$非负，那么$f=0\ a.e.\ x\in E$当且仅当$\int_E f\ \mathrm{d} x=0$
证明 $\Rightarrow $是显然的；反之，若$\int_E f\ \mathrm{d} x=0$，那么由切比雪夫不等式，对于$n\in\mathbb{N} $有$$d_f (\frac{1}{n} )\leq n\int_E f(t)\ \mathrm{d} t=0,$$因此$d_f (\frac{1}{n} )=0$对任意$n\in\mathbb{N} $成立，令$n\rightarrow\infty $就有$d_f (0)=0$，即$f=0\ a.e.\ x\in E$.
命题2 若$f\in\mathrm{L} (E)$非负，那么$f(x)<\infty\ a.e.\ x\in E$.
证明 由Chebyshev不等式有$$d_f (n)\leq\frac{1}{n}\int_E f(t)\ \mathrm{d} t\rightarrow 0,\quad n\rightarrow\infty ,$$从而$\mathrm{m} E(f(x)=\infty )=\lim_{n\rightarrow\infty } d_f (n)=0$
命题3 若$f\in\mathcal{M} (E)$非负且几乎处处有限，$\mathrm{m} E<\infty $，在$[0,\infty )$上做出如下分划：$$0=y_0 <y_1 <\dotsb <y_n <\dotsb\rightarrow\infty $$其中$y_{k+1} -y_k <\delta (\delta >0)$，则$f$在$E$上可积当且仅当级数$$\sum_{n=0}^{\infty } y_n (d_f (n)-d_f (n+1))<\infty $$并且$$\lim_{\delta\rightarrow 0} \sum_{k=0}^{\infty } y_k (d_f (k)-d_f (k+1))=\int_E f(x)\ \mathrm{d} x$$
证明 由定义有$$\int_E f(t)\ \mathrm{d} t=\sum_{k=0}^{\infty }\int_{E(y_k <f\leq y_{k+1} )} f(t)\ \mathrm{d} t\geq\sum_{k=0}^{\infty } y_k (d_f (k)-d_f (k+1))$$另一方面，$$\int_E f(t)\ \mathrm{d} t\leq\sum_{n=0}^{\infty } y_{n+1} (d_f (n)-d_f (n+1))=\sum_{n=0}^{\infty } y_n (d_f (n)-d_f (n+1))+\sum_{n=0}^{\infty } (y_{n+1} -y_n ) (d_f (n)-d_f (n+1))<\sum_{n=0}^{\infty } y_n (d_f (n)-d_f (n+1))+\delta d_f (0)$$
命题4 若$f\in\mathcal{M} (E)$非负，并且对任意的$n\in\mathbb{N} $有$d_f (n)>0$，那么存在$g\in\mathrm{L} (E)$非负，使得$fg\not\in\mathrm{L} (E)$.
证明 构造$$g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\chi_{E(f>n)} (x)}{(n+1)^2 d_f (n)} $$
