本文将会总结阿贝尔群$\mathbb{Q} /\mathbb{Z} $的一些重要性质。
先从这个群的起源开始说起。$\mathbb{Q} /\mathbb{Z} $可以从$\mathbb{Z} $的内射消解$0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to 0$得到，而由$\mathbb{Z} $是一个Dedekind整环，我们立刻得到$\mathbb{Q} /\mathbb{Z} $是内射$\mathbb{Z} $-模。更加重要的是，它是一个余分离子：
定义 一个可除阿贝尔群$G$如果对每一个素数$p$都包含一个$p$阶元，则$G$被称作一个余分离子。
余分离子在刻画平坦模上起着重要的作用。其作用体现在下面这个命题中。
命题 一个右$R$-模$A$如果能够使$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C)$是内射左$R$-模，其中$C$是一个余分离子，那么$A$是平坦模。
为了证明这个命题，我们先引入一个简单的引理：
引理 假设$G$是一个余分离子，$H$是一个阿贝尔群，那么对于任意的$h\in H\setminus\{0\} $，存在一个$\varphi\in\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (H,G)$使得$\varphi (h)\neq 0$.
证明 由于$G$含有所有素数阶元，因此对$H$中的任意元素$h$，总是存在一个从$\langle h\rangle $到$G$的一个同态，再由$G$是内射模，我们立刻得到所需结论。$\square $
命题的证明 对给定的$R$-模正合列$0\to D\to B\to E\to 0$，由于$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C)$是内射左$R$-模，因此有正合列$0\to\mathrm{Hom}_R (D,\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C) )\to\mathrm{Hom}_R (B,\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C) )\to\mathrm{Hom}_R (E,\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C) )\to 0$。由$\mathrm{Hom} $函子的基本定理有正合列$0\to\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (D\otimes A,C)\to\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (B\otimes A,C)\to\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (E\otimes A,C)\to 0$。由于$C$是内射阿贝尔群，因此这个正合列就蕴含了正合列$0\to D\otimes A\to B\otimes A\to E\otimes A\to 0$. $\square $
由此我们已然得到了平坦模的一个判别定理，也因此，模$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z} } (A,C)$称为模$A$的一个特征模。关于这一些结论的最终结果是：
引理（平坦判别引理） 右模$A$是平坦的当且仅当对任意有限生成左理想$I$，$A\otimes I\cong AI$.
这个引理就是上述命题的直接推论，因此证明略。
从上面的讨论我们知道，阿贝尔群$\mathbb{Q} /\mathbb{Z} $是内射$\mathbb{Z} $-模并且其对所有素数都包含一个素数阶元，因此它可以用于“提取”一个阿贝尔群中的挠元素。
命题 若$G$是挠阿贝尔群，那么$\mathrm{Hom} (G,\mathbb{Q} /\mathbb{Z} )\cong G$.
证明略。
