关于topology generated by functions的一些思考

1.关于topology generated by functions的一些思考2023-11-05

2.无限乘积拓扑2023-11-05

平时所学的拓扑都是直接给出开集族或者是basis or subbasis，然后由basis or subbasis生成拓扑。
前些天看Kechris时，遇到了weak topology。泛函分析时学过weak convergence，但没有接触过weak topology。
它给出的定义是generated by functions………看到的时候就很纳闷到底啥叫由函数生成的拓扑。
上网查阅后发现都在说让这些函数都连续的最粗的拓扑。我只能说他这说的也很有迷惑性，也可能是我造诣不行。最后在一本拓扑学书中找到了答案。

$X$ 是一个集合, ${f_{i} : X \to Y_{i}}_{i \in I}$ 是一族映射,其中每个 $Y_{i}$ 都是拓扑空间.令 $O$ 表示 $X$ 上由子集族 ${f_{i}^{- 1} (V_{i}) : i \in I, V_{i} 是 Y_{i} 的开集}$ 作为子基生成的拓扑.则 $O$ 具有以下性质:

每个 $f_{i} : (X, O) \to Y_{i}$ 连续.
任给 $X$ 上的拓扑 $τ$ , 若每个 $f_{i} : (X, τ) \to Y_{i}$ 都连续, 则 $O \subseteq τ$ .

$O$ 是 $X$ 上使每个 $f_{i}$ 都连续的最粗的拓扑,称该拓扑为 $X$ 上由映射族 ${f_{i} : X \to Y_{i}}_{i \in I}$ 生成的初始拓扑或弱拓扑.
这样再去理解泛函分析上的弱拓扑或者是弱*拓扑就容易理解了。

补充一下拓扑基与子基的定义：
$(X, O)$ 是拓扑空间, $B$ 是一族开集, 若 $(X, O)$ 的每一个开集都可以表示成 $B$ 的一些元素的并, 则称 $B$ 为 $O$ 的一个基.
设 $(X, O)$ 是拓扑空间, $B$ 是一族开集, 若开集族 ${X} \cup$ ${U_{1} \cap U_{2} \cap \dots \cap U_{n} : U_{i} \in B, n ⩾ 1}$ 是 $O$ 的一个基, 则称 $B$ 为 $O$ 的一个子基. $(subbasis)$ .