内点、外点、相对内点、边界点

🔬 Introduce

• Author: YIN Junshan
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📜 介绍

在数学分析和优化中，内点、相对内点和外点是常见的概念，尤其是在凸优化、拓扑学和最优化问题中有着重要的应用。本文将详细解释这三个点的定义及其之间的区别。

🚩 1. 内点（Interior Point）

在一个给定的集合中，内点是指存在一个包含该点的开集完全位于该集合内部的点。

内点的定义: 设 $S$ 是一个集合，$x$ 是 $S$ 中的一个点。如果存在一个正数 $ϵ>0$，使得以 $x$ 为中心、半径为 $ϵ$ 的开球 $B(x,ϵ)$ 完全包含在集合 $S$ 内，则称 $x$ 是集合 $S$ 的内点。

形式化地，若存在 $ϵ>0$，使得：

$$B(x,ϵ)\subseteq S$$

那么 $x$ 是 $S$ 的内点。

💡 2. 相对内点（Relative Interior Point）

相对内点通常出现在凸集的讨论中。它是相对于某个子集或某个子空间来说的内点。

相对内点的定义: 设 $S$ 是一个集合，$x\in S$。若存在一个有限维的线性子空间 $L\subseteq {\mathbb{R}}^n$，使得 $x$ 在 $S$ 中相对于 $L$ 的内点，即在 $L$ 中存在一个包含 $x$ 的小邻域完全位于 $S$ 内部，则称 $x$ 为相对内点。

🔬 3. 外点（Exterior Point）

外点是指不属于集合 $S$，且它有一个邻域完全位于集合 $S$ 的补集中的点。

外点的定义: 设 $S$ 是一个集合，$x$ 是 $S$ 的外点。即存在一个 $ϵ>0$，使得：

$$B(x,ϵ)\cap S=\mathrm{\varnothing }$$

这意味着以 $x$ 为中心、半径为 $ϵ$ 的开球完全位于 $S$ 的补集。

📌 4. 边界点（Boundary Point）

边界点是指即不属于集合的内点，也不属于集合的外点。它是集合的"边缘"上的点。

边界点的定义: 设 $S$ 是一个集合，$x$ 是集合 $S$ 的边界点。如果对于任意的 $ϵ>0$，开球 $B(x,ϵ)$ 都包含 $S$ 内的点和不在 $S$ 内的点，则称 $x$ 是集合 $S$ 的边界点。

🚩 5. 总结与比较

点类型	定义	特点
内点	存在一个开球完全包含在集合内	点在集合内部，且有邻域位于集合内部
相对内点	相对于某个子空间在集合内部	仅在子空间内满足内点条件
外点	存在一个开球完全位于集合的补集	点不在集合内，且有邻域完全位于补集内部
边界点	每个邻域同时包含集合内部和外部的点	点位于集合的边缘

🔬 6. 应用

• 内点方法：在优化算法中，内点方法被广泛应用于求解约束优化问题。通过内点方法，我们可以通过逐步逼近最优解来解决各种最优化问题，特别是在处理凸优化问题时。

• 相对内点：在处理约束优化问题时，相对内点常常用于分析凸集的性质，尤其是当约束集的维度较低时，相对内点提供了一种更细致的分析视角。

• 外点：外点在许多最优化问题中起着重要作用，它帮助我们识别和排除不可能的解空间区域，从而提高问题求解效率。

💡 7. 结论

内点、相对内点和外点是数学中描述集合元素位置的基本概念，它们在拓扑、分析和优化中有着广泛的应用。理解这些概念对于深入研究优化算法和拓扑学具有重要意义。

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