摘要：
已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ $(a b 0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,短轴长为$4$. $(1)$ 求椭圆$C$的方程; $(2)$ 过点$N(0,2)$作两条直线,分别交椭圆$C$于$A,B$两点(异于$N$ 阅读全文
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在平面直角坐标系$xOy$中,动点$M$与两定点$( \sqrt2,0)$,$(\sqrt2,0)$连线的斜率之积为$ \dfrac 12$. $(1)$ 求动点$M$的轨迹$E$的方程; $(2)$ 过点$(2,2)$作$E$的两条切线,切点分别为$A,B$,过点$P\left(\dfrac{1} 阅读全文
摘要：
若$\forall x\geqslant 1,x^{a+1}\mathrm{e}^x+a{\ln}x\geqslant 0$,则$a$的最小值为$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 由题首先考察$a0$,且题中不等式等价于$$ \forall x\geqslant 1,x\ 阅读全文
摘要：
定义在封闭的平面区域$D$内任意两点的距离的最大值称为平面区域$D$的``直径''.已知锐角三角形的三个顶点$A,B,C$在半径为$1$的圆上,且$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$,分别以$\triangle ABC$各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和$\triangle A 阅读全文
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三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点$A$是椭圆的一个短轴端点,如果以$A$为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率的取值范围是$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: $\triangle ABC$与椭圆如图所示,不妨设椭圆方程为$$ 阅读全文
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在面积为$1$的$\triangle ABC$中,$a,b,c$为角$A,B,C$所对的边,则$\dfrac{b^2(1+\cos A)(1+\cos C)}{1 \cos B}$的最小值为$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 法一 $\qquad$记所求表达式为$M$,则 阅读全文
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已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx$有两个极值点$x_1,x_2$,且$x_1 记三次函数的极小值点为$x_3$，则$$x_1+x_3= \dfrac{2b}{3a}.$$ 另一方面$f(x)=M=f(x_1)$得$$a(x^3 x_1^3)+b(x^2 x_1^2)+c(x x_1)=0, 阅读全文
摘要：
在等腰$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,其中$B$为钝角,且$b $$\sqrt{3}a\sin A$$=b$$\cos 2A$,点$D$与点$B$在直线$AC$的两侧,且$CD=3AD=3$,则$\triangle BCD$的面积的最大值是$(\qqu 阅读全文
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在$\triangle ABC$中,若$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=4\cos C$,$\cos (A B)=\dfrac{1}{6}$,则$\cos C=\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 法一 由题有$$ \cos C=\dfrac{a^2+b^ 阅读全文
摘要：
在$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别是$a,b,c$,若$a$$=$$1$,且$BC$边上的高等于$\tan A$,则$\triangle ABC$ 的周长的取值范围为$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 由题,不妨设$c\geqslant b$ 阅读全文