摘要：
若对于任意正实数$x$,都有${\ln}x a\mathrm{e}x b+1\leqslant 0$成立$(\mathrm{e}$为自然对数的底数$)$,则$a+b$的最小值为$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析 记题中所给不等式左侧为$f(x)$.显然$a 0$,否则,总存 阅读全文
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如图,已知抛物线的方程为$x^2=2py,p 0$,过点$A\left(0, 1\right)$作直线$l$与抛物线相交于$P,Q$两点,点$B$的坐标为$(0,1)$,连结$BP,BQ$,且$QB$,$BP$与$x$轴分别相交于点$M,N$,$QB$与抛物线交于另一点$E$,如果$QB$的斜率与$ 阅读全文
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已知点$P$为直线$l:x= 2$上任意一点,过点$P$作抛物线$y^2=2px(p 0)$的两条切线,切点分别为$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,则$x_1\cdot x_2=(\qquad)$ $\mathrm{A}.2$ $\qquad\mathrm{B}.\dfrac{p^ 阅读全文
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在平面上,$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{AB_2}$,$\left| \overrightarrow{OB_1}\right|=\left| \overrightarrow{OB_2} \right|=1$,$\overrightarrow{A 阅读全文
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已知函数$f(x)=\dfrac{x^2+2{\ln}x+3}{x}+m$,若$\exists x_0\in\left[\dfrac{1}{4},+\infty \right)$,使得$f(f(x_0))=x_0$,则$m$的取值范围是$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 阅读全文
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设函数$f(x)=\sqrt{\mathrm{e}^x+x a},a\in\mathbb{R},\mathrm{e}$为自然对数的底数,若曲线$y=\sin x$上存在点$\left(x_0,y_0\right)$使得$f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0$成立,则 阅读全文
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设函数$f(x)=x\mathrm{e}^{a x}+bx$,其中$\mathrm{e}$为自然对数的底数,$a,b$为常数,且函数$f(x)$的极值点为$x=1$,最大值为$1$. $(1)$ 求$a,b$的值; $(2)$ 若$f(x_1)=f(x_2)$,且$x_1\mathrm{e}$. 解 阅读全文
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已知函数$f(x)=a\mathrm{e}^x x{\ln}x$ $(a 0)$. $(1)$ 当$a=1$时,判断并证明函数$f(x)$在区间$[1,+\infty)$上的单调性; $(2)$ 若函数$f(x)$在$[1,+\infty)$上有零点,且正实数$a$的最大值为$m$,求证:$\dfr 阅读全文
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已知函数$f(x)=\mathrm{e}^x\left(x \dfrac{a}{x} 2\right)$ $(0,+\infty)$,其中$\mathrm{e}=2.71828\cdots$是自然对数的底数. $(1)$ 求函数$f(x)$的递增区间$;$ $(2)$ 若函数$f(x)$为定义域上的 阅读全文
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已知函数$f(x)=x 1+\dfrac{a}{\mathrm{e}^x}$,$(a\in\mathbb{R},\mathrm{e}$为自然对数的底数$)$. $(1)$ 若曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线平行于$x$轴,求$a$的值$;$ $(2)$ 求函数$f(x)$的极值; 阅读全文