摘要：
已知$\forall x 0,x\mathrm{e}^{2x} kx {\ln}x 1\geqslant 0$,求实数$k$的取值范围. 解析: 法一 原不等式等价于$$\forall x 0, k\leqslant \dfrac{1}{x}\cdot\left(x\mathrm{e}^{2x} { 阅读全文
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求证:$\forall x 0,x\mathrm{e}^x\geqslant {\ln}x+x+1$. 解析: 法一 由于我们孰知$\forall x\in\mathbb{R},\mathrm{e}^x\geqslant x+1$,所以$$LHS=x\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{ 阅读全文
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已知函数$f(x)=m\tan x+2\sin x$,$x\in\left[ 0,\dfrac{\pi}{2}\right)$,$m\in\mathbb{R}$. $(1)$ 若函数$y=f(x)$在$x\in\left[ 0,\dfrac{\pi}{2}\right)$上是单调函数,求实数$m$的 阅读全文
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已知函数$f(x)=\mathrm{e}^x(x+1) a$,$g(x)=\mathrm{e}^{2 x} a{\ln}(3 x)$,其中$a\in\mathbb{R}$. $(1)$ 若函数$f(x)$的图象均在$x$轴上方,求$a$的取值范围; $(2)$ 记$x_1$为函数$f(x)$在$(1 阅读全文
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已知函数$f(x)=(x 3)\mathrm{e}^x x^2+4x$,$g(x)=x\mathrm{e}^x 5x+1$. $(1)$ 证明:$f(x)0.$$记上述不等式左侧为$h(x)$,求导可得$$ h'(x)=\left( x^2+11x 10\right)\mathrm{e}^{ x}= 阅读全文
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已知函数$f(x)=ax+{\ln}x+1$ $(a\in\mathbb{R})$. $(1)$ 讨论函数$f(x)$的单调性; $(2)$ 当$a=1$时,令函数$g(x)=x\mathrm{e}^x f(x)$$($其中$\mathrm{e}$是自然对数的底数$)$,求$g(x)$的最小值. 解 阅读全文
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在平面四边形 $ABCD$ 中,已知 $\triangle ABC$ 的面积是 $\triangle ACD$ 的面积的 $3$ 倍,若存在正实数 $x,y$,使得 $\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{1}{x} 3\right)\overrightarrow{AB} 阅读全文
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已知向量$\boldsymbol{\alpha}$,$\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$满足$\left|\boldsymbol{\alpha}\right|=1$,$\left| \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta 阅读全文
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边长为$1$的正方形$ABCD$的顶点$A,D$分别在$x$轴,$y$轴的正半轴上滑动,则$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$的最大值为$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 如图,记$E,F$分别为$AD,BC$的中点 阅读全文
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设$P(x,y)$为椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$在第一象限上的点,则$\dfrac{x}{4 x}+\dfrac{3y}{6 y}$的最小值为$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 由题设$$P(4\cos\theta,2\sqr 阅读全文