摘要：
已知数列 $\{a_n\}$ 满足, $a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1$, $n\in\mathbb{N}^\ast$. $(1)$ 求 $\{a_n\}$ 的通项公式. $(2)$ $\{ b_n\}$ 满足 $4^{b_1 1}\cdot 4^{b_2 1} \cdots 4^{b_n 阅读全文
摘要：
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a b 0)$ 的长轴长为 $2\sqrt{2},$ 焦距为 $2,$ 抛物线 $M:y^2=2px(p 0)$ 的准线经过 $C$ 的左焦点 $F.$ $ (1) $ 求 $C$ 与 $M$ 的方程 $ ; $ 阅读全文
摘要：
已知点 $P(3,1)$, 圆 $C: (x 1)^2+(y 2)^2=4$. $(1)$ 求过点 $P$ 的圆 $C$ 的切线方程$;$ $(2)$ 若圆 $C$ 上的两点 $M,N$ 关于直线 $l: x+my+1=0$ 对称, 且 $\overrightarrow{OM}\cdot \over 阅读全文
摘要：
已知关于 $x$ 的方程 $x^2\ln x=a\ln a a\ln x$ 有 $3$ 个不同的实根，求 $a$ 的取值范围． 解析: 原题即关于 $x$ 的方程 $\ln x \dfrac {a\ln a}{x^2+a}=0$ 有三个不同的实根．记 $$ f(x)=\ln x \dfrac {a\ 阅读全文
摘要：
在 $\triangle ABC$ 中, $\sin \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, 点 $D$ 在线段 $AC$ 上, 且 $AD=2DC$, $BD=\dfrac{4\sqrt3}{3}$, 则 $\triangle ABC$ 的面积的最大 阅读全文
摘要：
已知函数 $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{ax}}{a}+x 2{\ln}(x+1)$ $( $ $\mathrm{e}$ 为自然对数的底数, $a$ 为常数, 且 $a\neq 0$ $)$ $(1)$ 若函数在 $x=1$ 处的切线与直线 $\mathrm{e}x y=0$ 平 阅读全文
摘要：
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ $(a b 0)$ 的左右焦点分别为 $F_1( c,0)$, $F_2(c,0)$, 动弦 $AB$ 过左焦点, 若 $\left| \overrightarrow{F_2A} \overrightarrow{F 阅读全文
摘要：
点 $A$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a b 0)$ 的右顶点, 若椭圆上存在异于端点的点 $P$ 使得 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PA}=0$, 则该椭圆的离心率的取值范围为$\und 阅读全文
摘要：
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a b 0)$ 半焦距为 $c$, 原点到经过 $(c,0),(0,b)$ 的直线距离为 $\dfrac12 c$. $(1)$ 求椭圆 $E$ 的离心率; $(2)$ 如图 $AB$ 是圆 $M: (x+2)^ 阅读全文
摘要：
已知点 $P(x_0,y_0)$，$x_00$ ，求证：若过点 $P$ 作抛物线的两条切线 $PA,PB$ 互相垂直，则 $P$ 点在抛物线准线上，其中 $A,B$ 两点为切点． 解析: 根据题意设过点 $P$ 的直线斜率的倒数为 $m$，则直线 $PA,PB$ 可统一表示为 $$ x=m(y y_ 阅读全文