2019 年 11月随笔档案 - Math521_刘雷

每日一题_191203

摘要：已知

$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}+x$ ,

$g(x)=\dfrac{{\ln}x}{x}+k$ ,若函数

$f(x)$ 和

$g(x)$ 的图象有两个交点,则实数

$k$ 的取值范围是

$(\quad)$

$\mathrm{A}. (0,1)$ $\qquad\mathrm{B}. (\ 阅读全文

posted @ 2019-11-29 19:46 Math521_刘雷阅读(240) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191202

摘要：已知

$\triangle ABC$ 中,

$a,b,c$ 分别为三角形三个内角

$A,B,C$ 所对的边,

$\sqrt2 a,b,c$ 成等差数列,则

$\dfrac{3}{\sin A}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sin C}$ 的最小值为

$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 阅读全文

posted @ 2019-11-29 19:28 Math521_刘雷阅读(157) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191201

摘要：一项智力游戏的规则如下:在

$4\times 4$ 的宫格中放上

$8$ 面完全相同的标志旗帜,每行每列有且只有

$2$ 面旗帜,则不同的放法有

$\underline{\qquad\qquad}$ 种. 解析法一由于

$4\times 4$ 的宫格每一列只插有两面旗子(青色), 因此这四列的类型总数共计$\rm 阅读全文

posted @ 2019-11-29 19:18 Math521_刘雷阅读(225) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191130

摘要：已知双曲线

$\dfrac{x^2}{a^2} \dfrac{y^2}{b^2}=1$

$(a 0,b 0)$ ,

$A(a,0)$ ,

$B(2a,0)$ ,

$P$ 为

$C$ 上异于点

$A$ 的一点,且满足

$\overrightarrow{PA}^2+\overrightarrow{PB}^2=a^2$ ,则

$C$ 的阅读全文

posted @ 2019-11-29 19:09 Math521_刘雷阅读(115) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191129

摘要：下列命题为真命题的个数是

$(\qquad)$ ①

${\ln}3<\sqrt{3}{\ln}2;$ ②

${\ln}\pi<\sqrt{\dfrac{\pi}{\mathrm{e}}};$ ③

$2^{\sqrt{15}}<15;$ ④ \(3\mathrm{e}{\ln}2<4\sqr 阅读全文

posted @ 2019-11-29 19:04 Math521_刘雷阅读(290) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191128

摘要：已知

$\forall x 0,x\mathrm{e}^{2x} kx {\ln}x 1\geqslant 0$ ,求实数

$k$ 的取值范围. 解析: 法一原不等式等价于$$\forall x 0, k\leqslant \dfrac{1}{x}\cdot\left(x\mathrm{e}^{2x} { 阅读全文

posted @ 2019-11-29 18:57 Math521_刘雷阅读(199) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191127

摘要：求证:

$\forall x 0,x\mathrm{e}^x\geqslant {\ln}x+x+1$ . 解析: 法一由于我们孰知

$\forall x\in\mathbb{R},\mathrm{e}^x\geqslant x+1$ ,所以$$LHS=x\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{ 阅读全文

posted @ 2019-11-21 16:35 Math521_刘雷阅读(190) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191126

摘要：已知函数

$f(x)=m\tan x+2\sin x$ ,

$x\in\left[ 0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ ,

$m\in\mathbb{R}$ .

$(1)$ 若函数

$y=f(x)$ 在

$x\in\left[ 0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上是单调函数,求实数

$m$ 的阅读全文

posted @ 2019-11-21 16:32 Math521_刘雷阅读(217) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191125

摘要：已知函数

$f(x)=\mathrm{e}^x(x+1) a$ ,

$g(x)=\mathrm{e}^{2 x} a{\ln}(3 x)$ ,其中

$a\in\mathbb{R}$ .

$(1)$ 若函数

$f(x)$ 的图象均在

$x$ 轴上方,求

$a$ 的取值范围;

$(2)$ 记

$x_1$ 为函数

$f(x)$ 在$(1 阅读全文

posted @ 2019-11-21 16:29 Math521_刘雷阅读(128) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191124

摘要：已知函数

$f(x)=(x 3)\mathrm{e}^x x^2+4x$ ,

$g(x)=x\mathrm{e}^x 5x+1$ .

$(1)$ 证明:

$f(x)0.$

$记上述不等式左侧为$ h(x)

$,求导可得$ $ h'(x)=\left( x^2+11x 10\right)\mathrm{e}^{ x}= 阅读全文

posted @ 2019-11-21 16:27 Math521_刘雷阅读(138) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191123

摘要：已知函数

$f(x)=ax+{\ln}x+1$

$(a\in\mathbb{R})$ .

$(1)$ 讨论函数

$f(x)$ 的单调性;

$(2)$ 当

$a=1$ 时,令函数

$g(x)=x\mathrm{e}^x f(x)$

$($ 其中

$\mathrm{e}$ 是自然对数的底数

$)$ ,求

$g(x)$ 的最小值. 解阅读全文

posted @ 2019-11-21 16:24 Math521_刘雷阅读(132) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191122

摘要：在平面四边形

$ABCD$ 中,已知

$\triangle ABC$ 的面积是

$\triangle ACD$ 的面积的

$3$ 倍,若存在正实数

$x,y$ ,使得 $\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{1}{x} 3\right)\overrightarrow{AB} 阅读全文

posted @ 2019-11-21 16:22 Math521_刘雷阅读(132) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191121

摘要：已知向量

$\boldsymbol{\alpha}$ ,

$\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$ 满足

$\left|\boldsymbol{\alpha}\right|=1$ ,$\left| \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta 阅读全文

posted @ 2019-11-16 13:43 Math521_刘雷阅读(112) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191120

摘要：边长为

$1$ 的正方形

$ABCD$ 的顶点

$A,D$ 分别在

$x$ 轴,

$y$ 轴的正半轴上滑动,则

$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$ 的最大值为

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析: 如图,记

$E,F$ 分别为

$AD,BC$ 的中点阅读全文

posted @ 2019-11-16 13:40 Math521_刘雷阅读(131) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191119

摘要：设

$P(x,y)$ 为椭圆

$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 在第一象限上的点,则

$\dfrac{x}{4 x}+\dfrac{3y}{6 y}$ 的最小值为

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析: 由题设$$P(4\cos\theta,2\sqr 阅读全文

posted @ 2019-11-16 13:35 Math521_刘雷阅读(208) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191117

摘要：半径为

$1$ 的圆上有三个动点

$A,B,C$ ,则

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的最小值为

$(\qquad)$

$\mathrm{A}. 1$

$\qquad\mathrm{B}. \dfrac{3}{4}$ $\qquad\mathrm{C 阅读全文

posted @ 2019-11-16 13:31 Math521_刘雷阅读(156) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191116

摘要：

$(08\text{年江苏卷})$ 满足条件

$AB=2,AC=\sqrt{2}BC$ 的三角形

$ABC$ 的面积的最大值是

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析: 建立如图所示坐标系,设

$A( 1,0),B(1,0).$ 设

$C(x,y),$ 则由

$AC=\sqrt{2} BC$ 可阅读全文

posted @ 2019-11-16 13:29 Math521_刘雷阅读(142) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191115

摘要：已知函数

$g(x)={\ln}x \dfrac{1}{2}mx 1$ .

$(1)$ 讨论

$g(x)$ 的单调性;

$(2)$ 若函数

$f(x)=xg(x)$ 在

$(0,+\infty)$ 上存在两个极值点

$x_1,x_2$ ,且

$x_12$ . 解析:

$(1)$ 对函数

$g(x)$ 求导可得$$ g'(x)= 阅读全文

posted @ 2019-11-09 19:20 Math521_刘雷阅读(115) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191114

摘要：已知函数

$f(x)=x{\ln}x \dfrac{a}{2}x^2,a\in\mathbb{R}$ .

$(1)$ 若

$x 0$ ,恒有

$f(x)\leqslant x$ 成立, 求实数

$a$ 的取值范围 ;

$(2)$ 若函数

$g(x)=f(x) x$ 有两个极值点

$x_1,x_2$ ,求证:$\dfrac{ 阅读全文

posted @ 2019-11-09 19:10 Math521_刘雷阅读(147) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191113

摘要：已知椭圆

$\mathit{\Gamma}: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$ ,过点

$P(1,1)$ 作倾斜角互补的两条不同直线

$l_1,l_2$ ,设

$l_1$ 与椭圆

$\mathit{\Gamma}$ 交于

$A,B$ 两点,

$l_2$ 与椭圆

$\mathit{\Gamma}$ 交阅读全文

posted @ 2019-11-09 19:06 Math521_刘雷阅读(257) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191112

摘要：已知

$F$ 为抛物线

$C_1:y^2=2px$

$(p 0)$ 的焦点,

$E$ 为圆

$C_2:(x 4)^2+y^2=1$ 上任意一点,且

$|EF|$ 的最大值为

$\dfrac{19}{4}$ .

$(1)$ 求抛物线

$C_1$ 的方程;

$(2)$ 若

$M(x_0,y_0)$ $(2\leqslant y_0\le 阅读全文

posted @ 2019-11-09 19:02 Math521_刘雷阅读(157) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191111

摘要：

$(15\text{年湖北卷理科})$ 如图,圆

$C$ 与

$x$ 轴相切于点

$T(1,0)$ ,与

$y$ 轴正半轴交于两点

$A,B(B$ 在

$A$ 的上方

$)$ ,且

$|AB|=2$ .

$(1)$ 圆

$C$ 的标准方程为

$\underline{\qquad\qquad}$ ;

$(2)$ 过点

$A$ 任作一条直线与圆$ 阅读全文

posted @ 2019-11-09 19:01 Math521_刘雷阅读(174) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191110

摘要：阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得,阿基米德被成为亚历山大时期的数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是

$:$ 已知动点

$M$ 与两定点

$A,B$ 距离之比为

$\lambda$

$(\lambda 0$ ,$\l 阅读全文

posted @ 2019-11-09 19:00 Math521_刘雷阅读(216) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191109

摘要：设向量

$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}|$ ,

$|\boldsymbol{a}|=3$ ,则

$|\boldsymbol{b}|$ 的取值范围为$ 阅读全文

posted @ 2019-11-09 18:41 Math521_刘雷阅读(186) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191108

摘要：函数

$y=\sqrt{3}\left(\dfrac{x}{3} \dfrac{2}{x}\right)$ 图象为双曲线,则其焦点坐标为

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析: 法一显然,该双曲线关于原点中心对称,但其焦点并未在坐标轴上,现拟将该双曲线通过旋转变换,使得新双曲线的阅读全文

posted @ 2019-11-09 18:37 Math521_刘雷阅读(206) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191107

摘要：已知

$F_1,F_2$ 分别是双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2} \dfrac{y^2}{b^2}=1$

$(a 0,b 0)$ 的左,右焦点,过

$F_1( 2,0)$ 的直线与双曲线

$C$ 的左支交于

$A,B$ 两点,若$D\left( \dfrac{1}{2},\dfrac{5}{8}\righ 阅读全文

posted @ 2019-11-06 14:30 Math521_刘雷阅读(133) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191106

摘要：如图,三棱锥

$A BCD$ 中,

$AC=AD=BC=BD=10$ ,

$AB=8$ ,

$CD=12$ ,点

$P$ 在侧面

$ACD$ 上,且到直线

$AB$ 的距离为

$\sqrt{21}$ ,则

$PB$ 的最大值是

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析: 由题,到直线

$AB$ 距离等于$\sqrt{21 阅读全文

posted @ 2019-11-06 14:29 Math521_刘雷阅读(145) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191105

摘要：已知函数

$f(x)={\ln}x+(\mathrm{e} a)x+b$ ,其中

$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数,若不等式

$f(x)\leqslant 0$ 恒成立,则

$\dfrac ba$ 的最大值为

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析: 由题,显然$a \mathrm{e 阅读全文

posted @ 2019-11-03 13:31 Math521_刘雷阅读(134) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191104

摘要：已知函数

$f(x)$ 满足

$f(x)=f'(1)\mathrm{e}^{x 1} f(0)x+\dfrac{1}{2}x^2$ .

$(1)$ 求

$f(x)$ 的解析式及单调区间

$;$

$(2)$ 若

$f(x)\geqslant \dfrac{1}{2}x^2+ax+b$ ,求

$(a+1)b$ 的最大值. 解阅读全文

posted @ 2019-11-03 13:30 Math521_刘雷阅读(138) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题 191103

摘要：已知函数

$f(x)=(ax x^2)\mathrm{e}^x(a\geqslant 0)$ .

$(1)$ 若函数

$f(x)$ 在区间

$[2,+\infty)$ 上单调递减,求实数

$a$ 的取值范围;

$(2)$ 设

$f(x)$ 的两个极值点为

$x_1,x_2(x_1 x_2)$ ,若$a\geqslant \ 阅读全文

posted @ 2019-11-03 13:27 Math521_刘雷阅读(183) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191102

摘要：已知函数

$f(x)=x{\ln}x+\dfrac{1}{2}ax^3 ax^2$ ,

$a\in\mathbb{R}$ .

$(1)$ 当

$a=0$ 时,求

$f(x)$ 的单调区间;

$(2)$ 若函数

$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ 存在两个极值点

$x_1,x_2$ ,求$g(x_1)+g(x_2) 阅读全文

posted @ 2019-11-03 13:24 Math521_刘雷阅读(134) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191101

摘要：已知椭圆

$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

$(a b 0)$ 的长轴长为

$4$ ,离心率为

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(1)$ 求椭圆

$E$ 的标准方程;

$(2)$ 过

$P(1,0)$ 作直线

$AB$ ,与椭圆相交于

$A,B$ 两点.是否存在定阅读全文

posted @ 2019-11-03 13:22 Math521_刘雷阅读(161) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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