2019 年 10月随笔档案 - Math521_刘雷

每日一题_191031

摘要：已知函数

$f(x)=\dfrac{6{\ln}x}{x}$ ,关于

$x$ 的不等式

$f^2(x)+af(x)+b^2 0$ 有且仅有一个整数解,则实数

$a$ 的取值范围是

$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 函数

$f(x)$ 的图象如图所示经分析易知$$ \lim_{x\to 0^ 阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:54 Math521_刘雷阅读(209) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191030

摘要：已知

$\triangle ABC$ 的内角

$A,B,C$ 所对的边分别为

$a,b,c$ ,若

$a=\sqrt{2}$ ,

$b^2 c^2=6$ ,则角

$A$ 最大时,

$\triangle ABC$ 的面积等于

$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 法一由题有$$ \begin{split 阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:48 Math521_刘雷阅读(248) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191029

摘要：已知

$k 0,b 0$ ,且

$\forall x 4,kx+b\geqslant {\ln}(x+4)$ ,则

$\dfrac{b}{k}$ 的最小值为

$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 将原题条件重新叙述

$:$ $$\forall x 0,k(x 4)+b {\ln}x\geq 阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:45 Math521_刘雷阅读(147) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191028

摘要：若对于任意正实数

$x$ ,都有

${\ln}x a\mathrm{e}x b+1\leqslant 0$ 成立

$(\mathrm{e}$ 为自然对数的底数

$)$ ,则

$a+b$ 的最小值为

$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析记题中所给不等式左侧为

$f(x)$ .显然

$a 0$ ,否则,总存阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:44 Math521_刘雷阅读(168) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191027

摘要：如图,已知抛物线的方程为

$x^2=2py,p 0$ ,过点

$A\left(0, 1\right)$ 作直线

$l$ 与抛物线相交于

$P,Q$ 两点,点

$B$ 的坐标为

$(0,1)$ ,连结

$BP,BQ$ ,且

$QB$ ,

$BP$ 与

$x$ 轴分别相交于点

$M,N$ ,

$QB$ 与抛物线交于另一点

$E$ ,如果

$QB$ 的斜率与$ 阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:43 Math521_刘雷阅读(127) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191026

摘要：已知点

$P$ 为直线

$l:x= 2$ 上任意一点,过点

$P$ 作抛物线

$y^2=2px(p 0)$ 的两条切线,切点分别为

$A(x_1,y_1)$ ,

$B(x_2,y_2)$ ,则

$x_1\cdot x_2=(\qquad)$

$\mathrm{A}.2$ $\qquad\mathrm{B}.\dfrac{p^ 阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:28 Math521_刘雷阅读(137) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191025

摘要：在平面上,

$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{AB_2}$ ,

$\left| \overrightarrow{OB_1}\right|=\left| \overrightarrow{OB_2} \right|=1$ ,$\overrightarrow{A 阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:26 Math521_刘雷阅读(149) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191024

摘要：已知函数

$f(x)=\dfrac{x^2+2{\ln}x+3}{x}+m$ ,若

$\exists x_0\in\left[\dfrac{1}{4},+\infty \right)$ ,使得

$f(f(x_0))=x_0$ ,则

$m$ 的取值范围是

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析: 阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:21 Math521_刘雷阅读(168) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191023

摘要：设函数

$f(x)=\sqrt{\mathrm{e}^x+x a},a\in\mathbb{R},\mathrm{e}$ 为自然对数的底数,若曲线

$y=\sin x$ 上存在点

$\left(x_0,y_0\right)$ 使得

$f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0$ 成立,则阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:20 Math521_刘雷阅读(136) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191022

摘要：设函数

$f(x)=x\mathrm{e}^{a x}+bx$ ,其中

$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数,

$a,b$ 为常数,且函数

$f(x)$ 的极值点为

$x=1$ ,最大值为

$1$ .

$(1)$ 求

$a,b$ 的值;

$(2)$ 若

$f(x_1)=f(x_2)$ ,且

$x_1\mathrm{e}$ . 解阅读全文

posted @ 2019-10-24 17:16 Math521_刘雷阅读(177) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191021

摘要：已知函数

$f(x)=a\mathrm{e}^x x{\ln}x$

$(a 0)$ .

$(1)$ 当

$a=1$ 时,判断并证明函数

$f(x)$ 在区间

$[1,+\infty)$ 上的单调性;

$(2)$ 若函数

$f(x)$ 在

$[1,+\infty)$ 上有零点,且正实数

$a$ 的最大值为

$m$ ,求证:$\dfr 阅读全文

posted @ 2019-10-17 19:41 Math521_刘雷阅读(170) 评论(0) 推荐(1) 编辑

每日一题_191020

摘要：已知函数

$f(x)=\mathrm{e}^x\left(x \dfrac{a}{x} 2\right)$

$(0,+\infty)$ ,其中

$\mathrm{e}=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数.

$(1)$ 求函数

$f(x)$ 的递增区间

$;$

$(2)$ 若函数

$f(x)$ 为定义域上的阅读全文

posted @ 2019-10-17 19:38 Math521_刘雷阅读(199) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191019

摘要：已知函数

$f(x)=x 1+\dfrac{a}{\mathrm{e}^x}$ ,

$(a\in\mathbb{R},\mathrm{e}$ 为自然对数的底数

$)$ .

$(1)$ 若曲线

$y=f(x)$ 在点

$(1,f(1))$ 处的切线平行于

$x$ 轴,求

$a$ 的值

$;$

$(2)$ 求函数

$f(x)$ 的极值; 阅读全文

posted @ 2019-10-17 19:35 Math521_刘雷阅读(134) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191018

摘要：已知双曲线

$\dfrac{x^2}{a^2} \dfrac{y^2}{b^2}=1$

$(a 0,b 0)$ 的左,右焦点分别为

$F_1( c,0)$ ,

$F_2(c,0)$ ,直线

$x=m$ 交双曲线于

$A,B$ 两点,且

$AF_2\perp BF_1$ ,

$AF_2$ 与

$y$ 轴的交点为

$C(0, 3b)$ , 阅读全文

posted @ 2019-10-17 19:30 Math521_刘雷阅读(181) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191017

摘要：已知

$A( \sqrt{3},0)$ ,

$B(\sqrt{3},0)$ ,

$P$ 为圆

$x^2+y^2=1$ 上的动点,

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PQ}$ ,过点

$P$ 作与

$AP$ 垂直的直线

$l$ 交直线

$QB$ 于点

$M$ ,则

$M$ 的横坐标范围是$(\qquad) 阅读全文

posted @ 2019-10-15 23:23 Math521_刘雷阅读(146) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191016

摘要：若平面向量

$\left| \boldsymbol{a}\right|=2$ ,

$\left| \boldsymbol{b}\right|=3$ ,

$\left| \boldsymbol{e}\right|=1$ ,且$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} \boldsymbo 阅读全文

posted @ 2019-10-10 22:56 Math521_刘雷阅读(182) 评论(0) 推荐(1) 编辑

每日一题_191915

摘要：设函数

$f(x)={\ln}x+\dfrac{1}{2}x a,a\in\mathbb{R}$ ,若存在

$b\in\left[1,\mathrm{e}\right]$ ,

$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数,使得

$f\left(f\left(b\right)\right)=b$ , 则实数

$a$ 的取值阅读全文

posted @ 2019-10-10 22:48 Math521_刘雷阅读(178) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191014

摘要：已知函数

$f(x)=(2x+a)\left(|x a|+|x+2a|\right)$

$(a0,k=1,2,\cdots 336.$

$则$

$F\left(k+\dfrac{a}{2}\right) F\left[ \left(673 k+\dfrac{a}{2}\right)\right].$ $从阅读全文

posted @ 2019-10-10 22:47 Math521_刘雷阅读(153) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191013

摘要：设

$f(x)$ 是定义在

$\mathbb{R}$ 上的奇函数,且当

$x\geqslant 0$ 时,

$f(x)=x^2$ ,若对任意的

$x\in\left[t,t+2\right]$ ,不等式

$f(x+t)\geqslant 2f(x)$ 恒成立,则实数

$t$ 的取值范围是

$(\qquad)$ $\mathrm 阅读全文

posted @ 2019-10-10 22:36 Math521_刘雷阅读(179) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191012

摘要：在平面四边形

$ABCD$ 中,已知

$AB=1$ ,

$AC=\sqrt{5}$ ,

$BD\perp BC$ ,

$BD=2BC$ ,则

$AD$ 的最小值为

$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 法一如图,固定

$AC$ 边长,则点

$B$ 在以

$A$ 点为圆心,以

$1$ 为半径的圆上运动, 若记$\a 阅读全文

posted @ 2019-10-10 22:26 Math521_刘雷阅读(150) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191011

摘要：如图所示,在平面四边形

$ABCD$ 中,

$AB=1$ ,

$BC=2$ ,

$\triangle ACD$ 为正三角形,则

$\triangle BCD$ 面积的最大值为

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析: 将

$BC$ 边固定,则

$A$ 点在以

$B$ 为圆心,

$1$ 为半径的圆上运动, 由于$\t 阅读全文

posted @ 2019-10-09 20:12 Math521_刘雷阅读(150) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191010

摘要：设

$f(x)={\ln}(x+1),g(x)=\mathrm{e}^x 1$ .

$(1)$ 证明:

$x\geqslant 0$ 时,

$\dfrac{2x}{x+2}\leqslant f(x)\leqslant x$ ;

$(2)$

$x\geqslant 0$ 时,$f(x)\cdot g(x)\geq 阅读全文

posted @ 2019-10-09 20:08 Math521_刘雷阅读(191) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191009

摘要：已知

$f(x)=x^2+(1 2a)x a{\ln}x$

$(a 0)$ 有两个零点

$x_1,x_2$ .

$(1)$ 求

$a$ 的取值范围

$;$

$(2)$ 求证

$: x_1x_2 1$ . 解析:

$(1)$ 原题等价于下述函数有两个零点$$ g(x)=\dfrac{2x+{\ln}x}{x^2+x} 阅读全文

posted @ 2019-10-06 22:48 Math521_刘雷阅读(181) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191008

摘要：已知椭圆

$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

$(a b 0)$ 的离心率为

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ,短轴长为

$4$ .

$(1)$ 求椭圆

$C$ 的方程;

$(2)$ 过点

$N(0,2)$ 作两条直线,分别交椭圆

$C$ 于

$A,B$ 两点(异于

$N$ 阅读全文

posted @ 2019-10-06 22:45 Math521_刘雷阅读(235) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191007

摘要：在平面直角坐标系

$xOy$ 中,动点

$M$ 与两定点

$( \sqrt2,0)$ ,

$(\sqrt2,0)$ 连线的斜率之积为

$\dfrac 12$ .

$(1)$ 求动点

$M$ 的轨迹

$E$ 的方程;

$(2)$ 过点

$(2,2)$ 作

$E$ 的两条切线,切点分别为

$A,B$ ,过点$P\left(\dfrac{1} 阅读全文

posted @ 2019-10-06 22:42 Math521_刘雷阅读(196) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191006

摘要：若

$\forall x\geqslant 1,x^{a+1}\mathrm{e}^x+a{\ln}x\geqslant 0$ ,则

$a$ 的最小值为

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析: 由题首先考察

$a0$ ,且题中不等式等价于$$ \forall x\geqslant 1,x\ 阅读全文

posted @ 2019-10-03 20:09 Math521_刘雷阅读(157) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191005

摘要：定义在封闭的平面区域

$D$ 内任意两点的距离的最大值称为平面区域

$D$ 的``直径''.已知锐角三角形的三个顶点

$A,B,C$ 在半径为

$1$ 的圆上,且

$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$ ,分别以

$\triangle ABC$ 各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和$\triangle A 阅读全文

posted @ 2019-10-03 20:03 Math521_刘雷阅读(225) 评论(0) 推荐(0) 编辑

每日一题_191004

摘要：三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点

$A$ 是椭圆的一个短轴端点,如果以

$A$ 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率的取值范围是

$\underline{\qquad\qquad}$ . 解析:

$\triangle ABC$ 与椭圆如图所示,不妨设椭圆方程为$$ 阅读全文

posted @ 2019-10-03 19:57 Math521_刘雷阅读(206) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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