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Math521_刘雷

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已知函数f(x)=x{\ln}x-2mx(m\in\mathbb{R}).
(1) 求函数f(x)在区间\left[\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}^2\right]上的最小值;
(2)x_1,x_2\in\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right),求证:x_1x_2<\left(x_1+x_2\right)^{2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}.

解析:
(1)f(x)求导可得 f'(x)={\ln}x+1-2m,x>0.
因此f(x)\left(0,\mathrm{e}^{2m-1}\right)单调递减,在\left[ \mathrm{e}^{2m-1},+\infty\right)单调递增.
情形一 若m<\dfrac{3}{4},则\mathrm{e}^{2m-1}<\mathrm{e}^{\frac{1}{2}},此时所求最小值为f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=\left(\dfrac{1}{2}-2m\right)\sqrt{\mathrm{e}}.
清新二 若m>\dfrac{3}{2},则\mathrm{e}^{2m-1}>\mathrm{e}^2,此时所求最小值为f\left(\mathrm{e}^2\right)=2(1-m)\mathrm{e}^2.
情形三 若m\in\left[\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{2}\right],则$$\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\leqslant \mathrm{e}{2m-1}\leqslant\mathrm{e}2.$$此时所求最小值为f\left(\mathrm{e}^{2m-1}\right)=-\mathrm{e}^{2m-1}.
(2) 若记(a,b)=\left(x_1x_2,x_1+x_2\right),
a>\dfrac{1}{\mathrm{e}^2},b>\dfrac{2}{\mathrm{e}},b>2\sqrt{a}>\dfrac{2}{\mathrm{e}}.
题中待证不等式重写为 a{\ln}a<b^2{\ln}b.记右侧表达式为函数y=g(b),b>\dfrac{2}{\mathrm{e}},容易知道g(b)\left(\dfrac{2}{\mathrm{e}},+\infty\right)单调递增,从而 g\left(b\right)>g\left(2\sqrt{a}\right)=4a{\ln}\left(2\sqrt{a}\right).显然4a{\ln}\left(2\sqrt{a}\right)>a{\ln}a,于是原题证毕.

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