已知函数f(x)=xlnx−2mx(m∈R).
(1) 求函数f(x)在区间[√e,e2]上的最小值;
(2) 若x1,x2∈(1e,+∞),求证:x1x2<(x1+x2)2+x1x2+x2x1.
解析:
(1) 对f(x)求导可得f′(x)=lnx+1−2m,x>0.
因此f(x)在(0,e2m−1)单调递减,在[e2m−1,+∞)单调递增.
情形一 若m<34,则e2m−1<e12,此时所求最小值为f(√e)=(12−2m)√e.
清新二 若m>32,则e2m−1>e2,此时所求最小值为f(e2)=2(1−m)e2.
情形三 若m∈[34,32],则$$\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\leqslant \mathrm{e}{2m-1}\leqslant\mathrm{e}2.$$此时所求最小值为f(e2m−1)=−e2m−1.
(2) 若记(a,b)=(x1x2,x1+x2),则
a>1e2,b>2e,b>2√a>2e.
题中待证不等式重写为alna<b2lnb.记右侧表达式为函数y=g(b),b>2e,容易知道g(b)在(2e,+∞)单调递增,从而g(b)>g(2√a)=4aln(2√a).显然4aln(2√a)>alna,于是原题证毕.
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