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Math521_刘雷

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已知函数f(x)=xlnx2mx(mR).
(1) 求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值;
(2)x1,x2(1e,+),求证:x1x2<(x1+x2)2+x1x2+x2x1.

解析:
(1)f(x)求导可得f(x)=lnx+12m,x>0.
因此f(x)(0,e2m1)单调递减,在[e2m1,+)单调递增.
情形一 若m<34,则e2m1<e12,此时所求最小值为f(e)=(122m)e.
清新二 若m>32,则e2m1>e2,此时所求最小值为f(e2)=2(1m)e2.
情形三 若m[34,32],则$$\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\leqslant \mathrm{e}{2m-1}\leqslant\mathrm{e}2.$$此时所求最小值为f(e2m1)=e2m1.
(2) 若记(a,b)=(x1x2,x1+x2),
a>1e2,b>2e,b>2a>2e.
题中待证不等式重写为alna<b2lnb.记右侧表达式为函数y=g(b),b>2e,容易知道g(b)(2e,+)单调递增,从而g(b)>g(2a)=4aln(2a).显然4aln(2a)>alna,于是原题证毕.

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