每日一题_191217

已知函数$f(x)=x{\ln}x-2mx$$(m\in\mathbb{R})$.
$(1)$ 求函数$f(x)$在区间$\left[\sqrt{\mathrm{e}},\mathrm{e}^2\right]$上的最小值;
$(2)$ 若$x_1,x_2\in\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$,求证:$x_1x_2<\left(x_1+x_2\right)^{2+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}$.

解析:
$(1)$ 对$f(x)$求导可得 $$f'(x)={\ln}x+1-2m,x>0.$$
因此$f(x)$在$\left(0,\mathrm{e}^{2m-1}\right)$单调递减,在$\left[ \mathrm{e}^{2m-1},+\infty\right)$单调递增.
情形一 若$m<\dfrac{3}{4}$,则$\mathrm{e}^{2m-1}<\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$,此时所求最小值为$f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=\left(\dfrac{1}{2}-2m\right)\sqrt{\mathrm{e}}$.
清新二 若$m>\dfrac{3}{2}$,则$\mathrm{e}^{2m-1}>\mathrm{e}^2$,此时所求最小值为$f\left(\mathrm{e}^2\right)=2(1-m)\mathrm{e}^2$.
情形三 若$m\in\left[\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{2}\right]$,则$$\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\leqslant \mathrm{e}^{{2m-1}\leqslant\mathrm{e}}2.$$此时所求最小值为$f\left(\mathrm{e}^{2m-1}\right)=-\mathrm{e}^{2m-1}$.
$(2)$ 若记$(a,b)=\left(x_1x_2,x_1+x_2\right),$则
$$a>\dfrac{1}{\mathrm{e}^2},b>\dfrac{2}{\mathrm{e}},b>2\sqrt{a}>\dfrac{2}{\mathrm{e}}.$$
题中待证不等式重写为 $$a{\ln}a<b^2{\ln}b.$$ 记右侧表达式为函数$y=g(b),b>\dfrac{2}{\mathrm{e}}$,容易知道$g(b)$在$\left(\dfrac{2}{\mathrm{e}},+\infty\right)$单调递增,从而 $$g\left(b\right)>g\left(2\sqrt{a}\right)=4a{\ln}\left(2\sqrt{a}\right).$$ 显然$4a{\ln}\left(2\sqrt{a}\right)>a{\ln}a$,于是原题证毕.