如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C_1:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1,椭圆C_2:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0).C_2与C_1的长轴之比为\sqrt2: 1,离心率相同.
(1) 求椭圆C_2的标准方程;
(2) 设点P为椭圆C_2上任意一点.射线PO与椭圆C_1依次交于点A,B,求证:\dfrac{|PA|}{|PB|}为定值;
(3) 过C_2上任意一点P作两条斜率分别为k_1,k_2的直线l_1,l_2,且直线l_1,l_2与椭圆C_1均有且只有一个公共点,求证:k_1\cdot k_2为定值.
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解析
(1)由题a=2\sqrt{2},b=\sqrt2,因此所求椭圆方程为C_2:\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1.
(2) 由于\dfrac{|PA|}{|PB|}=\dfrac{|OP|-|OA|}{|OP|+|OA|}.因此仅需证明\dfrac{|OP|}{|OA|}为定值,若设P\left(2\sqrt{2}\cos\theta,\sqrt{2}\sin\theta\right),则A\left(2\cos\theta,\sin\theta\right),显然恒有\dfrac{|OP|}{|OA|}=\sqrt{2}.证毕.\
(3) 设P(2\sqrt2\cos\theta,\sqrt{2}\sin\theta),直线l_1,l_2的斜率统一记为k,
则直线l_{1,2}可表示为
kx-y+\sqrt{2}\sin\theta-2\sqrt{2}k\cos\theta=0.
由于l_{1,2}与椭圆C_1相切,由等效判别式可得关于k的一元二次方程
k^2\cdot 4+(-1)^2\cdot 1-\left(\sqrt{2}\sin\theta-2\sqrt{2}k\cos\theta\right)^2=0.即$$
(4-8\cos^2\theta)\cdot k^2+8\sin\theta\cos\theta\cdot k+1-2\sin2\theta=0.这个方程的两个解即$k_1,k_2$,从而由韦达定理可得k_1k_2=\dfrac{1-2\sin2\theta}{4-8\cos^2\theta}=-\dfrac{1}{4}.$$
证毕.
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