如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x24+y2=1,椭圆C2:x2a2+y2b2=1 (a>b>0).C2与C1的长轴之比为√2:1,离心率相同.
(1) 求椭圆C2的标准方程;
(2) 设点P为椭圆C2上任意一点.射线PO与椭圆C1依次交于点A,B,求证:|PA||PB|为定值;
(3) 过C2上任意一点P作两条斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,且直线l1,l2与椭圆C1均有且只有一个公共点,求证:k1⋅k2为定值.
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解析
(1)由题a=2√2,b=√2,因此所求椭圆方程为C2:x28+y22=1.
(2) 由于|PA||PB|=|OP|−|OA||OP|+|OA|.因此仅需证明|OP||OA|为定值,若设P(2√2cosθ,√2sinθ),则A(2cosθ,sinθ),显然恒有|OP||OA|=√2.证毕.\
(3) 设P(2√2cosθ,√2sinθ),直线l1,l2的斜率统一记为k,
则直线l1,2可表示为kx−y+√2sinθ−2√2kcosθ=0.
由于l1,2与椭圆C1相切,由等效判别式可得关于k的一元二次方程k2⋅4+(−1)2⋅1−(√2sinθ−2√2kcosθ)2=0.即$$
(4-8\cos^2\theta)\cdot k^2+8\sin\theta\cos\theta\cdot k+1-2\sin2\theta=0.这个方程的两个解即$k1,k2$,从而由韦达定理可得k_1k_2=\dfrac{1-2\sin2\theta}{4-8\cos^2\theta}=-\dfrac{1}{4}.$$
证毕.
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