已知数列\(\{a_n\}\)共有\(16\)项,且\(a_1=1\),\(a_8=4\),\(a_{16}=0\),\(\left| a_{k+1}-a_k\right|=1\),\(k=1,2,\cdots,15\).则满足这种条件的不同数列的个数为\((\qquad)\)
\(\mathrm{A}. 49\) \(\qquad\mathrm{B}. 588\) \(\qquad\mathrm{C}.1176\) \(\qquad\mathrm{D}.2352\)
解析:
根据题意记$$a_{k+1}-a_k=d_k,k=1,2,\cdots,15.$$
则\(d_k\in\left\{1,-1\right\}\),由于\(a_1=1,a_8=4\),则$$
d_1+d_2+\cdots+d_7=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_8-a_7)=a_8-a_1=3.$$
所以\(d_1,d_2,\cdots,d_7\)中必然是\(5\)个\(1\),\(2\)个\(-1\),因此\(\{d_k\}(k=1,2,\cdots,7)\)这个序列的个数为$$\rm{C}_7^2=21.$$
同理可知序列\(\{d_k\}(k=8,9,\cdots,15)\)的个数为$$
\rm{C}_8^2=28.$$综上,再根据分步乘法计数原理可知满足题意的不同数列的个数为$$21\cdot 28=588.$$选项\(\rm{B}\)正确.
