四根长都为22的直铁条,若再选两根长都为aa的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架,则此三棱锥体积的取值范围是()()
A.(0,16√327]A.(0,16√327] B.(0,8√327]B.(0,8√327] C.(0,2√33]C.(0,2√33] D.(0,√33]D.(0,√33]
解析:
由于该三棱锥的对棱相等,因此可考虑构造如图所示长方体,
其中BD=BA1=C1A1=C1D=2,DA1=BC1=a.BD=BA1=C1A1=C1D=2,DA1=BC1=a.
显然四面体B−DA1C1B−DA1C1的体积始终是长方体ABCD−A1B1C1D1ABCD−A1B1C1D1的1313倍,若设AB=xAB=x,则AD=AA1=√4−x2,x∈(0,2).AD=AA1=√4−x2,x∈(0,2).于是可得三棱锥B−DA1C1B−DA1C1的体积为VB−DA1C1=13⋅x⋅(4−x2),x∈(0,2).VB−DA1C1=13⋅x⋅(4−x2),x∈(0,2).解得VB−DA1C1的取值范围为(0,16√327].
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