每日一题_191206

已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\),\(\triangle ABC\)的三个顶点都在抛物线上,且\(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FA}\).
\((1)\) 证明:直线\(BC\)恒过一定点;
\((2)\) 判断\(\triangle ABC\)可否是锐角三角形,并说明理由.
解析:
\((1)\) 易知\(F(1,0)\),设$$
B\left(4t_1^{2,4t_1\right),C\left(4t_2}2,4t_2\right).$$
由于\(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FA}\),若设\(A(x_A,y_A)\),则$$
\left(4t_1^2+4t_22-2,4t_1+4t_2\right)=\left(x_A-1,y_A\right).$$从而$$
\begin{cases}
& x_A=4t_1^2+4t_22-1,\
& y_A=4t_1+4t_2,
\end{cases}

\[由于$y_A^2=4x_A$,所以\]

\left(4t_1+4t_2\right)^2=4\left(4t_1^2+4t_2^2-1\right).$$解得$t_1t_2=-\dfrac{1}{8}$.从而$B,C$点横坐标乘积为定值,即$$4t_1^2\cdot 4t_2^2=\dfrac{1}{4},$$结合抛物线的几何平均性质可知$BC$直线恒过定点$\left(\dfrac{1}{2},0\right)$.证毕
$(2)$ 显然$\triangle BCF\cong \triangle  BCA$,因此只需研究$\triangle BCF$,记$B(x_B,y_B),C(x_C,y_C)$,结合$(1)$有$$
x_Bx_C=\dfrac{1}{4},y_By_C=-2.$$此时$$
\begin{cases}
& |BC|^2=\left(x_B-x_C\right)^2+\left(y_B-y_C\right)^2,\\
& |BF|^2=\left(x_B+1\right)^2,\\
& |CF|^2=\left(x_C+1\right)^2,
\end{cases}
$$
由于$$
|BC|^2-|BF|^2-|CF|^2=2(x_B+x_C)+\dfrac{3}{2}>0,$$因此$\triangle BCF$恒为钝角三角形.从而$\triangle ABC$不可能为锐角三角形.