每日一题_191205

设函数\(f(x)=(x^2-2x){\ln}x+\left(a-\dfrac{1}{2}\right)x^2+2(1-a)x+a\),\(a\in\mathbb{R}\).
\((1)\) 讨论\(f(x)\)的单调性;
\((2)\) 当\(a<-2\)时,讨论\(f(x)\)的零点个数.
解析:
\((1)\) 对\(f(x)\)求导可得$$f'(x)=2(x-1)\left(a+{\ln}x\right),x>0.$$显然\(f'(x)\)的两个零点为\(1\)与\(\mathrm{e}^{-a}\),以下分类讨论.
情形一 当\(a=0\),此时\(1=\mathrm{e}^{-a}\),\(\forall x>0,f'(x)\geqslant 0\),\(f(x)\)单调递增.
情形二 当\(a>0\),此时\(1>\mathrm{e}^{-a}\),\(f(x)\)在\(\left(0,\mathrm{e}^{-a}\right),(1,+\infty)\)上单调递增.在\(\left[\mathrm{e}^{-a},1\right]\)单调递减.
情形三 当\(a<0\),此时\(1<\mathrm{e}^{-a}\),\(f(x)\)在\(\left(0,1\right),\left(\mathrm{e}^{-a},+\infty\right)\)单调递增,在\(\left[1,\mathrm{e}^{-a}\right]\)单调递减.
\((2)\) 当\(a<-2\),若记\(x_1=1,x_2=\mathrm{e}^{-a}\), 因为\(f(x_1)=\dfrac32>0\),并且$$
\begin{split}
f(x_2)=&\left(x_2^{2-2x_2\right){\ln}x_2+\left(-{\ln}x_2-\dfrac{1}{2}\right)x_2}2\
&+2\left[1-\left(-{\ln}x_2\right)\right]x_2-{\ln}x_2\
=&-\dfrac{1}{2}x_2^2+2x_2-{\ln}x_2\
<&2-{\ln}x_2\
<&0.
\end{split}

\[所以函数$f(x)$在$(x_1,x_2)$上有且仅有一个零点.又因为$\exists x_3=\dfrac{1}{9}<x_1$,使得\]

\begin{split}
f\left(x_3\right)&=\dfrac{35+68{\ln}3+128a}{162}<\dfrac{35+68{\ln}3-256}{162}<0.
\end{split}

\[同时$\exists x_4=\mathrm{e}^{-4a}>x_2$,使得\]

\begin{split}
f(x_4)&=x_4^2{\ln}x_4+2(1-a)x_4-2x_4{\ln}x_4+\left(a-\dfrac{1}{2}\right)x_4^2+a\\
&>x_4^2{\ln}x_4+2(1-a)x_4-2x_4^2+2ax_4^2+a\\
&>x_4^2{\ln}x_4+2(1-a)x_4+ax_4^2+2ax_4^2+ax_4^2\\
&=2(1-a)x_4\\
&>0.
\end{split}

\[ 综上可知$f(x)$有且仅有三个零点,且这三个零点分别位于区间$(x_3,x_1),(x_1,x_2),(x_2,x_4)$内.\]