每日一题_191201

一项智力游戏的规则如下:在\(4\times 4\)的宫格中放上\(8\)面完全相同的标志旗帜,每行每列有且只有\(2\)面旗帜,则不同的放法有\(\underline{\qquad\qquad}\) 种.
解析
法一 由于\(4\times 4\)的宫格每一列只插有两面旗子(青色),

因此这四列的类型总数共计\(\rm{C}_4^2=6\)种,如图所示,分别记为基因\(\rm{A-F}\). 从这六个类型中选择四个组成一个"基因型".那么这个``基因型''有且仅有两类,第一类基因型包含\(2\)个基因,第二类基因型包含\(4\)个基因,分别记为\(\rm{XXYY}\)型和\(\rm{XYZW}\)型.
情形一 \(\rm{XXYY}\)型 由于\(\rm{X}\)一旦确定,则\(\rm{Y}\)随之唯一确定,因此该种情形\(\rm{X}\)与\(\rm{Y}\)的组合种数有\(3\)种.而每一种组合都对应\(\rm{C}_4^2=6\)种排列,因此 \(\rm{XXYY}\)型的个数共计\(3\cdot 6=18\)种.
情形二 \(\rm{XYZW}\)型 对于该种情形,分两步解决.
第一步 确定\(4\times 4\)宫格中四列的类型 在选择的时候必然是从\(\rm{ABC}\)中选\(2\)种,再从\(\rm{DEF}\)中选\(2\)种,并且前两种一旦确定下来,则后两种随之唯一确定,因此在选择基因这件事情上,满足题意的选法有\(\rm{C}_3^2=3\)种.
第二步 将选定的不同四列排序 四列模型各不相同,考虑四列之间的顺序差异共计\(\rm{A}_4^4=24\)种.
因此\(\rm{XYZW}\)型的个数共计\(3\cdot 24=72\)种.
综上,所有满足题意的旗帜放法有\(18+72=90\)种.
法二 逐行确定放法,共计$$\rm{C}_4^{2\cdot\left[\left(\rm{C}_2}2\right)^{2+\left(\rm{C}_2}1\rm{C}_2^1\right)\cdot 2+\rm{C}_2^{2\cdot\rm{C}_4}2\right]\cdot\rm{C}_2^2=90.$$