每日一题_191124

已知函数\(f(x)=(x-3)\mathrm{e}^x-x^2+4x\),\(g(x)=x\mathrm{e}^x-5x+1\).
\((1)\) 证明:\(f(x)<g(x)\);
\((2)\) 若\(\forall x<3,f(x)\leqslant ax-3\),求实数\(a\)的值.
解析:
\((1)\) 由题即证$$
\forall x\in\mathbb{R},\left(x^{2-9x+1\right)\mathrm{e}}+3>0.$$记上述不等式左侧为\(h(x)\),求导可得$$
h'(x)=\left(-x^{2+11x-10\right)\mathrm{e}}=-\left(x-1\right)\left(x-10\right)\mathrm{e}^{-x}.$$
因此$$
\begin{cases}
& \forall x\leqslant 10,h(x)\geqslant h(1)=-7\mathrm{e}^{-1}+3>0,\
& \forall x>10,h(x)=\left[x(x-9)+1\right]\mathrm{e}^{-x}+3>0.
\end{cases}

\[综上原不等式得证. $(2)$ 构造函数\]

F(x)=f(x)-ax+3=(x-3)\mathrm{e}^x-x2+(4-a)x+3,x\in\left(-\infty,3\right).$$
由于\(\forall x<3,F(x)\leqslant 0\),注意到\(F(0)=0\),对\(F(x)\)求导可得$$
F'(x)=(x-2)\mathrm{e}^x-2x+(4-a),x\in\left(-\infty,3\right),$$
情形一 当\(a<2\),则\(F'(0)=2-a>0\),则必然$$
\exists x_0\in\left(0,3\right),\forall x\in\left(0,x_0\right),F'(x)>0,F(x)>F(0)=0.$$不符题设,舍去.
情形二 当\(a>2\),则\(F'(0)=2-a<0\),则必然$$
\exists x_0\in\left(-\infty,0\right),\forall x\in\left(x_0,0\right),F'(x)<0,F(x)>F(0)=0.$$
不符题设,舍去.
情形三 当\(a=2\),此时显然$$
\forall x\in\left(-\infty,3\right), F(x)=(x-3)\left[\mathrm{e}^x-(x+1)\right]\leqslant 0.$$
综上可知\(a=2\).