已知函数\(f(x)=x{\ln}x-\dfrac{a}{2}x^2,a\in\mathbb{R}\).
\((1)\) 若\(x>0\),恒有\(f(x)\leqslant x\)成立, 求实数\(a\)的取值范围 ;
\((2)\) 若函数\(g(x)=f(x)-x\)有两个极值点\(x_1,x_2\),求证:\(\dfrac{1}{{\ln}x_1}+\dfrac{1}{{\ln}x_2}>2a\mathrm{e}\).
解析:
\((1)\) 根据题意有$$\forall x>0, {\ln}x-\dfrac a2x\leqslant 1.$$显然\(a>0\), 因此仅需左侧的最大值不大于\(1\)即可, 即\({\ln}\dfrac 2a-1\leqslant 1\), 于是可得\(a\)的取值范围为\(\left[\dfrac{2}{\mathrm{e}^2},+\infty\right)\).
\((2)\) 根据题意\(x_1,x_2\)就是\(g'(x)\)的两个零点,而$$g'(x)={\ln}x-ax,x>0.$$因此容易知道\(0<a<\dfrac{1}{\mathrm{e}}\), 由于\({\ln}x_{1,2}=a\cdot x_{1,2}\), 所以原题即证$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>2a^2\mathrm{e}.$$而由对数平均不等式可得
\[ \begin{split}
\sqrt{x_1x_2}&<\dfrac{1}{a}=\dfrac{x_1}{{\ln}x_1}=\dfrac{x_2}{{\ln}x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{{\ln}x_1+{\ln}x_2}\\
&= \dfrac{x_1-x_2}{{\ln}x_1-{\ln}x_2}<\dfrac{x_1+x_2}{2}.
\end{split}
$$因此有$$\left(x_1+x_2>\dfrac{2}{a}\right)\land\left(x_1x_2<\dfrac{1}{a^2}\right).$$ 于是$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}>2a>2a^2\mathrm{e}.\]
