每日一题_191112

已知$F$为抛物线$C_1:y^2=2px$$(p>0)$的焦点,$E$为圆$C_2:(x-4)^2+y^2=1$上任意一点,且$|EF|$的最大值为$\dfrac{19}{4}$.
$(1)$ 求抛物线$C_1$的方程;
$(2)$ 若$M(x_0,y_0)$$(2\leqslant y_0\leqslant 4)$在抛物线$C_1$上,过$M$作圆$C_2$的两条切线,交抛物线$C_1$于$A,B$,求$AB$中点的纵坐标的取值范围.
解析:
$(1)$ 由题易知$F$的坐标为$\left(\dfrac{p}{2},0\right)$,于是$|EF|$的最大值为 $$\left|4-\dfrac{p}{2} \right|+1=\dfrac{19}{4}.$$ 解得$p=\dfrac{1}{2}$或$p=\dfrac{31}{2}$.所以所求抛物线方程为$y^2=x$或$y^2=31x$.
$(2)$ 由题,设$$M(2pt_0^{2,2pt_0),A(2pt_1}2,2pt_1),B(2pt_2^2,2pt_2).$$易得直线$MA$的一般方程为 $$x-\left(t_0+t_1\right)y+2pt_0t_1=0.$$ 由于直线$MA$与圆$C_2$相切,所以圆心$C_2$到直线$MA$的距离为$1$,即有$$
\left(4+2pt_0t_1\right)^{2=1+\left(t_0+t_1\right)}2.$$同理,由$MB$与$C_2$相切可得$$
\left(4+2pt_0t_2\right)^{2=1+\left(t_0+t_2\right)}2. $$两式作差可得$$ \left[8+2pt_0\left(t_1+t_2\right)\right]\cdot\left(t_1-t_2\right)\cdot 2pt_0=
\left(2t_0+t_1+t_2\right)\cdot\left(t_1-t_2\right).$$显然$t_1-t_2\neq 0$,若记$AB$中点横坐标为$m$,则$$
m=\dfrac{2pt_1+2pt_2}{2}=\dfrac{16p^{2t_0-2pt_0}{1-4p}2t_0^{2}=\dfrac{(8p-1)y_0}{1-y_0}2}.$$无论$p=\dfrac{1}{2}$还是$\dfrac{31}{2}$,$m$都是关于$y_0$的单调递增函数,因此$m$的取值范围为 $$\left[-\dfrac{2(8p-1)}{3},-\dfrac{4(8p-1)}{15} \right].$$
情形一 当$p=\dfrac12$,$AB$中点的纵坐标取值范围为$\left[-2,-\dfrac{4}{5}\right]$.
情形二 当$p=\dfrac{31}{2}$,$AB$中点的纵坐标取值范围为$\left[-82,-\dfrac{164}{5}\right]$.