每日一题_191109

设向量\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)满足\(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|\),\(|\boldsymbol{a}|=3\),则\(|\boldsymbol{b}|\)的取值范围为\(\underline{\qquad\qquad}\).

法一 由题设 $$\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}),$$不妨令\(\boldsymbol{a}=(3,0)\).


设\(\left|\overrightarrow{OB}\right|=b\),记\(M\)为\(AB\)中点,且记\(|AM|=m\),则由题$$
2|OM|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=4m.$$所以\(|OM|=2m\),从而可判断点\(M\)的轨迹是阿波罗尼斯圆,且该圆方程为$$
(x-4)^2+y2=4.$$于是\(m=|AM|\)的取值范围为\([1,3]\),再结合中线长定理可得$$
|OA|^2+|OB|2=2\left(|OM|^2+|MA|2\right).$$即$$
b^2=10m2-9.$$因此\(b\)的取值范围为\([1,9]\).

法二 由题,不妨设$$
\boldsymbol{a}=(3,0),\boldsymbol{b}=(x,y).$$则由题中所给已知条件\( |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|,\)
可得$$
(x-5)^2+y2=16.

\[所以$x$的取值范围为$[1,9]$,从而\]

\boldsymbol{b}^2=x2+y^2=x2+16-(x-5)^2=10x-9.$$所以\(|\boldsymbol{b}|\)的取值范围为\([1,9]\).