已知函数\(f(x)={\ln}x+(\mathrm{e}-a)x+b\),其中\(\mathrm{e}\)为自然对数的底数,若不等式\(f(x)\leqslant 0\)恒成立,则\(\dfrac ba\)的最大值为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析:
由题,显然\(a>\mathrm{e}\),否则,总存在\(x=\mathrm{e}^{1-b}\),使得$$
f(x)=1-b+(\mathrm{e}-a)x+b>0.$$不符题设,因此必有\(a>\mathrm{e}\).此时恒有$$
\forall x>0,f(x)\leqslant f\left(\dfrac{1}{a-\mathrm{e}}\right)=-{\ln}(a-\mathrm{e})-1+b\leqslant 0.$$从而\(b\leqslant
{\ln}(a-\mathrm{e})+1\),于是$$
\dfrac{b}{a}\leqslant \dfrac{{\ln}(a-\mathrm{e})+1}{a}\leqslant \dfrac{\dfrac{a-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}+1}{a}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}. $$
因此当且仅当\((a,b)=(2\mathrm{e},2)\)时,\(\dfrac ba\)取得最大值\(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).
