已知函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f'(1)\mathrm{e}^{x-1}-f(0)x+\dfrac{1}{2}x^2\).
\((1)\) 求\(f(x)\)的解析式及单调区间\(;\) \((2)\) 若\(f(x)\geqslant \dfrac{1}{2}x^2+ax+b\),求\((a+1)b\)的最大值.
解析:
\((1)\) 对\(f(x)\)求导可得\(f'(x)=f'(1)\mathrm{e}^{x-1}-f(0)+x,x\in\mathbb{R}.\)由$$
f'(1)=f'(1)-f(0)+1,f(0)=\dfrac{f'(1)}{\mathrm{e}}.$$联解得\(\left(f(0),f'(1)\right)=\left(1,\mathrm{e}\right)\).所以$$f(x)=\mathrm{e}x-x+\dfrac{1}{2}x2,f'(x)=\mathrm{e}^x+x-1>0,x\in\mathbb{R}.$$因此\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)单调递减,在\([0,+\infty)\)单调递增.
\((2)\) 题中所给条件不等式即$$\forall x\in\mathbb{R}, \mathrm{e}^x- (a+1)x-b\geqslant 0.$$
情形一 若\(a+1<0\),则$$\exists x_0=\dfrac{|b|+1}{a+1}<0,\mathrm{e}^{x_0}-(a+1)x_0-b<1-(|b|+1)-b\leqslant 0.$$不符题设,舍去.
情形二 若\(a+1=0\),则\((a+1)b=0\).
情形三 若\(a+1>0\),为求\((a+1)b\)的最大值,仅需考虑\(b>0\)的情况,\((a+1)b\)的最大值一定是当直线\(y=(a+1)x+b\)与曲线\(y=\mathrm{e}^x\)相切时取得,以下予以证明.由于$$
\forall (a+1)>0,\exists x_0\in\mathbb{R}, a+1=\mathrm{e}^{x_0}.$$此时由题中已知条件不等式可知$$\forall x\in\mathbb{R},\mathrm{e}x-\mathrm{e}x\geqslant b.$$容易求得\(b_{\mathrm{max}}=\mathrm{e}^{x_0}(1-x_0),x_0\in\mathbb{R}\),进而$$\forall x_0\in\mathrm{R},(a+1)b_{\mathrm{max}}=\mathrm{e}^{2x_0}(1-x_0)\leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{2} .$$
所以\((a+1)b\)的最大值为\(\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}\).当且仅当\(\left(x_0,a,b\right)=\left(\dfrac{1}{2},\sqrt{\mathrm{e}}-1,\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}\right)\)时取得.
