每日一题_191031

已知函数$f(x)=\dfrac{6{\ln}x}{x}$,关于$x$的不等式$f^2(x)+af(x)+b^2>0$有且仅有一个整数解,则实数$a$的取值范围是$\underline{\qquad\qquad}.$
解析:
函数$f(x)$的图象如图所示

经分析易知 $$\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to +\infty}f(x)=0^+.$$ 设$t=f(x)$,则关于$t$的方程$t^2+at+b^2=0$$(\ast)$的根有三种情形.
情形一 方程$(\ast)$无实根,此时由题中所给不等式解出$t=f(x)\in\mathbb{R}$,显然不满足题意,舍去.
情形二 方程$(\ast)$有两个相等的实根,记为$t_0$,此时由题中所给不等式解出 $$t\in\left{t\mid t\in\mathbb{R},t\neq t_0\right}.$$ 无论$t_0$是何值,此时的$t$,也即$f(x)$都不满足题意.
情形三 方程$(\ast)$有两个不等的实根,记为$t_1,t_2$,其中$t_1<t_2$,由韦达定理可知$t_1t_2=b^2\geqslant 0$.
若$t_1,t_2\leqslant 0$,此时$x=2$和$x=3$均满足题中所给不等式,不符题设,舍去.
若$t_1=0,t_2>0$, 则$t_2=-a$,此时必须$t_2\in\left[f(2),f(3)\right)$,即有$a\in\left(-2{\ln}3,-3{\ln}2\right]$.


若$t_1,t_2>0$,则 $$\forall x\in\left\{x\bigg | x\in\mathbb{N} \text{ 且 } x\geqslant \dfrac{36}{t_1^2} \right\}, f(x)<\dfrac{6\sqrt{x}}{x}=\dfrac{6}{\sqrt{x}}\leqslant t_1.$$ 因此,此时有无数个正整数满足题中所给不等式,不符题设,舍去. 综上可得,所求$a$的取值范围为$\left(-2{\ln}3,-3{\ln}2\right]$.