每日一题_191024

已知函数$f(x)=\dfrac{x^2+2{\ln}x+3}{x}+m$,若$\exists x_0\in\left[\dfrac{1}{4},+\infty \right)$,使得$f(f(x_0))=x_0$,则$m$的取值范围是$\underline{\qquad\qquad}$.
解析:
由于$x_0$满足$f(f(x_0))=x_0$,所以$x_0$是$f(x)$的稳定点,又因为$$
f'(x)=\dfrac{x^2-1-{\ln}x2}{x^2}\geqslant 0.$$因此$x_0$为$f(x)$的不动点,因此题意即 $$\exists x_0\in \left[ \dfrac{1}{4},+\infty \right), f(x_0)=x_0.$$
所以问题转化为求函数 $$m(x)=x-\dfrac{x^2+2{\ln}x+3}{x},x\in\left[ \dfrac{1}{4},+\infty\right).$$ 的值域问题.易求得$m$的取值范围为$\left[ -2\sqrt{\mathrm{e}},0\right)$.