每日一题_191023

设函数$f(x)=\sqrt{\mathrm{e}^x+x-a},a\in\mathbb{R},\mathrm{e}$为自然对数的底数,若曲线$y=\sin x$上存在点$\left(x_0,y_0\right)$使得$f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0$成立,则$a$的取值范围是$\left(\qquad\right)$
$\mathrm{A}.\left[1,\mathrm{e}\right]$ $\qquad\mathrm{B}.\left[\mathrm{e}^{-1}-1,1\right]$ $\qquad\mathrm{C}.\left[1,\mathrm{e}+1\right]$ $\qquad\mathrm{D}.\left[\mathrm{e}^{-1}-1,\mathrm{e}+1\right]$
解析:
根据复合函数的单调性,可以判断$f(x)$为增函数,又因为 $$\exists y_0\in\left[-1,1\right],f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0.$$ 所以$y_0$是函数$f(x)$的稳定点,又因为$f(x)$单调递增,因此该稳定点即不动点,也即有 $$\exists y_0\in\left[-1,1\right], f(y_0)=y_0.$$ 此时$y_0\in\left[0,1\right]$,记$x=y_0$,可得$$a=\mathrm{e}^x+x-x2,x\in\left[0,1\right].$$于是可得$a$的取值范围为$[1,\mathrm e]$.