已知函数\(f(x)=\mathrm{e}^x\left(x-\dfrac{a}{x}-2\right)\) \((0,+\infty)\),其中\(\mathrm{e}=2.71828\cdots\)是自然对数的底数.
\((1)\) 求函数\(f(x)\)的递增区间\(;\)
\((2)\) 若函数\(f(x)\)为定义域上的增函数,且\(f(x_1)+f(x_2)=-4\mathrm{e}\),证明\(:x_1+x_2\geqslant 2\).
解析:
\((1)\) 含参单调性讨论 对\(f(x)\)求导可得$$f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}x(x-1)(x2-a)}{x^2},x>0.$$
情形一 若\(a\leqslant 0\), 则\(f(x)\)的递增区间为\([1,+\infty)\).
情形二 若\(a\in\left(0,1\right)\),则\(f(x)\)的递增区间为\((0,\sqrt a]\)与\([1,+\infty)\).
情形三 若\(a=1\),则\(f(x)\)在整个定义域内单调递增,单调递增区间为\((0,+\infty)\).
情形四 若\(a>1\),则\(f(x)\)的递增区间为\((0,1]\)与\([\sqrt a,+\infty)\).
\((2)\) 结合\((1)\)可知,若要\(f(x)\)为单调递增函数,则必须\(a=1\),因此$$ f(x)=\mathrm{e}^x\left(x-\dfrac{1}{x}-2\right),x>0.$$不妨设\(x_1\leqslant x_2\),由于\(f(x)\)单调递增,且\(f(1)=-2\mathrm{e}\),所以题中\(x_1,x_2\)必然满足$$0<x_1\leqslant 1\leqslant x_2.$$于是原题等价于证明$$
f(2-x_1)\leqslant f(x_2)=-4\mathrm{e}-f(x_1).$$构造函数$$F(x)=f(x)+f(2-x)+4\mathrm{e},x\in\left(0,1\right].$$仅需证明\(\forall x\in\left(0,1\right],F(x)\leqslant 0\).对\(F(x)\)求导可得$$
\begin{split}
F'(x)&=f'(x)-f'(2-x)\
&=\dfrac{\mathrm{e}x(x-1)2(x+1)}{x2}-\dfrac{\mathrm{e}(1-x)2(3-x)}{(2-x)2}\
&=\mathrm{e}{2-x}(x+1)(x-1)2\left[\dfrac{\mathrm{e}{2x-2}}{x2}-\dfrac{3-x}{(x+1)(2-x)^2}\right]
\end{split}$$
容易证明$$\forall x\in(0,1],\dfrac{\mathrm{e}{2x-2}}{x2}\geqslant 1\geqslant \dfrac{3-x}{(x+1)(2-x)^2}.$$因此$$\forall x\in(0,1],F'(x)\geqslant 0.$$所以\(F(x)\)单调递增,因此$$\forall x\in(0,1],F(x)\leqslant F(1)=0.$$于是原题证毕.
