每日一题_191019

已知函数$f(x)=x-1+\dfrac{a}{\mathrm{e}^x}$,$(a\in\mathbb{R},\mathrm{e}$为自然对数的底数$)$.
$(1)$ 若曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线平行于$x$轴,求$a$的值$;$
$(2)$ 求函数$f(x)$的极值;
$(3)$ 当$a=1$时,若直线$l: y=kx-1$与曲线$y=f(x)$没有公共点,求$k$的最大值.
解析:
$(1)$ 对$f(x)$求导可得 $$f'(x)=1-a\mathrm{e}^{-x}.$$ 根据题意有$f'(1)=0$,于是解得此时$a=\mathrm{e}$.
$(2)$ 情形一 若$a\leqslant 0$,则$f'(x)\geqslant 0$恒成立,此时函数$f(x)$无极值点.
情形二 若$a>0$,则$f'(x)=0$有唯一解$x_0={\ln}a$,此时函数$f(x)$有极小值 $$f(x_0)={\ln}a.$$
$(3)$ 由题可知下述方程无解 $$x-1+\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}=kx-1,x\in\mathbb{R}.$$
情形一 $k=1$时,显然满足题意.
情形二 $k>1$时,考虑构造函数 $$g(x)=x\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{k-1},x\in\mathrm{R}.$$
易知函数$g(x)$在$(-\infty,-1)$单调递减,在$[-1,+\infty)$单调递增,并且此时 $$\begin{cases} & \exists x_1=-1,g(x_1)=-\mathrm{e}^{-1}-\dfrac{1}{k-1},\ & \exists x_2=\dfrac{1}{k-1}>0,g(x_2)=\dfrac{1}{k-1}\left(\mathrm{e}^{x_2}-1\right)>0. \end{cases}$$
所以该种情形下,$g(x)$在区间$(x_1,x_2)$存在唯一零点,不符题设,舍去.综上$k$的最大值为$1$.