已知函数\(f(x)=x-1+\dfrac{a}{\mathrm{e}^x}\),\((a\in\mathbb{R},\mathrm{e}\)为自然对数的底数\()\).
\((1)\) 若曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线平行于\(x\)轴,求\(a\)的值\(;\)
\((2)\) 求函数\(f(x)\)的极值;
\((3)\) 当\(a=1\)时,若直线\(l: y=kx-1\)与曲线\(y=f(x)\)没有公共点,求\(k\)的最大值.
解析:
\((1)\) 对\(f(x)\)求导可得$$f'(x)=1-a\mathrm{e}^{-x}.$$根据题意有\(f'(1)=0\),于是解得此时\(a=\mathrm{e}\).
\((2)\) 情形一 若\(a\leqslant 0\),则\(f'(x)\geqslant 0\)恒成立,此时函数\(f(x)\)无极值点.
情形二 若\(a>0\),则\(f'(x)=0\)有唯一解\(x_0={\ln}a\),此时函数\(f(x)\)有极小值$$f(x_0)={\ln}a.$$
\((3)\) 由题可知下述方程无解$$x-1+\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}=kx-1,x\in\mathbb{R}.$$
情形一 \(k=1\)时,显然满足题意.
情形二 \(k>1\)时,考虑构造函数$$g(x)=x\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{k-1},x\in\mathrm{R}.$$
易知函数\(g(x)\)在\((-\infty,-1)\)单调递减,在\([-1,+\infty)\)单调递增,并且此时$$
\begin{cases}
& \exists x_1=-1,g(x_1)=-\mathrm{e}^{-1}-\dfrac{1}{k-1},\
& \exists x_2=\dfrac{1}{k-1}>0,g(x_2)=\dfrac{1}{k-1}\left(\mathrm{e}^{x_2}-1\right)>0.
\end{cases}$$
所以该种情形下,\(g(x)\)在区间\((x_1,x_2)\)存在唯一零点,不符题设,舍去.综上\(k\)的最大值为\(1\).
